Теоре́ма Менела́я, или теорема о трансверсалях, или теорема о полном четырёхстороннике, — классическая теорема аффинной геометрии.
Формулировка
Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолженияхНа самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки., то они коллинеарны тогда и только тогда, когда:
,
где , и обозначают отношения направленных отрезков.
Замечания В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:
Вариации и обобщения Тригонометрический эквивалент: , где все углы — ориентированные. В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
История Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившемся сочинении Евклида «Поризмы».
Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии.
Ей посвящён ряд сочинений в «Книге о фигуре секущих», написанных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.
Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузовCeva G., De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678.
Применения Теорема Сальмона Многие теоремы проективной геометрии, например, теорема Паппа и теорема Дезарга, доказываются многократным применением теоремы Менелая.
См. также Двойное отношение Отношение направленных отрезков Пропорциональные отрезки Прямая Ньютона Теорема Чевы Теорема Ван-Обеля о треугольнике
Примечания
Ссылки Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — : Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
Категория:Аффинная геометрия Категория:Сферическая геометрия Категория:Геометрия треугольника Менелая