Биномиа́льное распределе́ние с параметрами и в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .
Определение Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром , то есть при каждом величина принимает значения («успех») и («неудача») с вероятностями и соответственно. Тогда случайная величина
имеет биномиальное распределение с параметрами и . Это записывается в виде: . <p> Случайную величину обычно интерпретируют как число успехов в серии из одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании.
Функция вероятности задаётся формулой:
где — биномиальный коэффициент.
Функция распределения Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы: , где обозначает наибольшее целое, меньшее числа , или в виде неполной бета-функции: .
Моменты Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид: , откуда математическое ожидание: , и дисперсия: .
Свойства биномиального распределения Пусть и . Тогда . Пусть и . Тогда .
Связь с другими распределениями Если , то получаем распределение Бернулли. Если большое, то в силу центральной предельной теоремы , где — нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией . Если большое, а — фиксированное число, то , где — распределение Пуассона с параметром . Если случайные величины и имеют биномиальные распределения и соответственно, то условное распределение случайной величины при условии – гипергеометрическое .
См. также Треугольник Паскаля Локальная теорема Муавра — Лапласа
Категория:Дискретные распределения Категория:Решётчатые распределения Категория:Факториалы и биномиальные коэффициенты