Конечное множество — множество, элементы которого можно пронумеровать числами до некоторого натурального числа . В противном случае множество называется бесконечным. Например:
— конечное множество из пяти элементов; число 5 в данном случае — мощность множества.
Множество натуральных чисел бесконечно: , поскольку нет такого числа , всеми числами вплоть до которого его можно пронумеровать.
В символической записи, множество называется конечным, если взаимно-однозначно соответствует множеству при некотором неотрицательном целом ; в этом случае является мощностью множества , что записывается как . Пустое множество является конечным множеством, количество элементов которого равно 0, то есть, .
Существуют и другие определения конечного множества: множество конечно, если оно индуктивно; множество конечно, если множество всех его подмножеств нерефлексивно; множество конечно, если оно нерефлексивно; множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству.
Проблема определения конечности множеств в общем случае неразрешима (теорема Трахтенброта). Не существует ни самого слабого, ни самого сильного определения конечного множества. Для каждой логической формулы, являющейся определением конечного множества, существует более сильная и более слабая формулы. Существует неограниченное число логических формул, определяющих конечные множества, и среди них неограниченное множество независимых определений.
Регулярное множество не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству.
Если конечные множества попарно не пересекаются (то есть, ), то мощность их объединения является суммой их мощностей: .
Мощность декартова произведения конечных множеств — произведение их мощностей: .
Мощность булеана конечного множества равна .
Конечные множества играют центральную роль в направлениях, идентифицируемых как конечная математика и дискретная математика, изучающих конечные структуры с использованием средств и результатов, недоступных в бесконечных случаях: например, в комбинаторике часто используется принцип Дирихле, согласно которому не может существовать инъекция из большего конечного множества в меньшее.
Примечания
Литература
Категория:Теория множеств Категория:Мощность множеств