Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.
Определение Пусть — пространство с мерой, и . Говорят, что сходится почти всюду, и пишут -п.в., если .
Терминология теории вероятностей Если есть вероятностное пространство, и — случайные величины, такие что , то говорят, что последовательность сходится почти наверное к .
Свойства сходимости п.в. Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду. Пусть , где , и сходится почти всюду к . Пусть также существует функция такая, что для всех и почти всех (суммируемая мажоранта). Тогда , и в . Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в . Например, последовательность функций сходится к 0 почти всюду на , но не сходится в . Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно. Сходимость почти всюду на множестве конечной меры равносильна усиленному условию сходимости по мере. Рассмотрим множество всех из , для которых хотя бы один член ряда имеет номер, не меньший , но его разность с по модулю больше Предел при возрастающем меры множества равен нулю для любого положительного тогда и только тогда, когда стремиться к почти всюду на . В формальной записи: на При переходе от сходимости к первому условию важно, чтобы мера было конечна. Подразумевается, что мера счётно-аддитивна и полна.
Пусть — множество точек, где последовательность функций не сходится к .
По определению предела в попадают те и только те точки, в которых для некоторого из последовательности можно выбрать подпоследовательность, не попадающую в -окрестность значения . При этом можно приблизить некоторым положительным рациональным числом Формализуя вышесказанное: , где Отметим, что при любом данное множество содержит следующее
1. Предположим, что последовательность сходится почти всюду, то есть мера равна нулю. Но для любого пересечение множеств — подмножество , так что мера этого пересечения в связи с полнотой меры также ноль. Но множества сужаются — непрерывность меры влечёт доказываемое равенство:
2. Обратно, пусть указанная в условии мера множеств стремится к нулю. Тогда эта мера конечна (хотя бы начиная с некоторого номера), и по свойству непрерывности меры при каждом положительном рациональном :
Значит, множество является объединением множеств меры ноль и в силу счётной-аддитивности меры само имеет меру ноль.
См. также Почти всюду
Примечания
Литература
Категория:Теория вероятностей Категория:Сходимость последовательностей функций