Разделённая ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.
Определение
Пусть функция задана на (связном) множестве и фиксированы попарно различные точки
Тогда разделённой разностью нулевого порядка функции в точке называют значение а разделённую разность порядка для системы точек определяют через разделённые разности порядка по формуле
в частности,
Свойства Для разделённой разности верна формула
в частности,
Разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется, в частности,
При фиксированной системе точек разделённая разность является линейным функционалом, то есть для функций и и скаляров и :
Применение
С помощью разделённых разностей функции для узлов можно записать как интерполяционный многочлен Ньютона «вперёд»:
так и интерполяционный многочлен Ньютона «назад»:
Преимущества: для вычислений разделённых разностей требуется действий (деления), что меньше, чем в других алгоритмах; вычислять значения интерполяционного многочлена можно по схеме Горнера за действий (умножения); хранения требуют узел и разность, причём разности можно хранить (получить) в тех же ячейках, где были заданы значения ; по сравнению с интерполяционным многочленом Лагранжа упрощено добавление нового узла.
С использованием
первую из формул можно записать в виде
С помощью многочлена Ньютона можно также получить следующее представление разделённых разностей в виде отношения определителей:
История Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганом в 1848 годуКонечные разности. в энциклопедии Кругосвет.
Пример
На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления разделённых разностей для
См. также Конечные разности Численное дифференцирование
Ссылки Интерполирование Эрмита с использованием разделенных разностей. Литература Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб. — : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с., илл. — ISBN 5-94774-175-X. Корн Г. (Granino A. Korn, Ph.D.), Корн Т. (Theresa M. Korn, M.S.) Справочник по математике (для научных работников и инженеров) (). — : Наука, 1973. — 832 с., илл.
Примечания
Категория:Численные методы