Кристаллографическая точечная группа симметрии — это точечная группа симметрии, которая описывает макросимметрию кристалла. Поскольку в кристаллах допустимы оси (поворотные и несобственного вращения) только 1, 2, 3, 4 и 6 порядков, из всего бесконечного числа точечных групп симметрии только 32 относятся к кристаллографическим.

Обозначения

Символика Браве В основном используется в учебных целях и сводится к перечислению всех элементов точечной группы. Поворотные оси симметрии обозначаются буквой L с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку оси () — , , , и . Инверсионные оси (комбинация поворота с инверсией) обозначаются буквой Ł с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку оси (Łn) — Ł2, Ł3, Ł4 и Ł6. Инверсионная ось первого порядка (центр инверсии) обозначается символом C. Инверсионная ось второго порядка есть просто плоскость симметрии и обычно обозначается символом P. Для уточнения ориентации плоскости относительно главной оси могут использоваться разные индексы, например, || и ⊥. Например, символ L2P⊥C обозначает группу состоящую из оси второго порядка и перпендикулярной к ней плоскости (и, как следствие их взаимодействия, центра инверсии), а символ L22P|| — группу состоящую из оси второго порядка и двух параллельных ей плоскостей (хотя в случае только параллельных плоскостей символ || обычно опускают и будет L22P). Символ L44L24P||P⊥C обозначает группу, состоящую из оси четвёртого порядка, четырёх перпендикулярных к ней осей второго порядка, четырёх параллельных ей плоскостей, одной перпендикулярной плоскости и центра инверсии.

Символика Шёнфлиса

Символика Шёнфлиса основана на классификации точечных групп по семействам и широко используется для обозначения вообще всех точечных групп, а не только кристаллографических.

Семейство групп с единственной поворотной осью обозначается латинской буквой C с индексом, показывающим порядок оси. К кристаллографическим относятся C1, C2, C3, C4 и C6.

Добавление горизонтальной плоскости к группам Cn обозначается дополнительным индексом h. Получаем группы C2h, C3h, C4h и C6h.

Добавление вертикальных плоскостей к группам Cn обозначается дополнительным индексом v. Группы C2v, C3v, C4v и C6v.

Поскольку в группе C1 не существует особых направлений, добавленная плоскость не может характеризоваться как вертикальная или горизонтальная. Такая плоскость обозначается индексом s. Таким образом, символ группы состоящей из одной плоскости симметрии — Cs ( — зеркало).

Группы с осями второго порядка, перпендикулярным главной оси обозначаются буквой D с индексом, показывающим порядок главной поворотной оси. К кристаллографическим относятся D2, D3, D4 и D6.

Добавление горизонтальной плоскости к группам Dn обозначается, так же, как и в случае Сn, дополнительным индексом h. Группы — D2h, D3h, D4h и D6h.

Добавление вертикальных плоскостей к группам Dn неоднозначно, так как плоскости могут располагаться как между горизонтальными осями второго порядка, так и совпадать с ними. В первом случае добавляется индекс d, обозначающий диагональное расположение плоскостей (по диагонали между направлениями осей второго порядка). Получаются кристаллографические группы D2d и D3d. В группах Dnd взаимодействие горизонтальных осей второго порядка и вертикальных зеркальных плоскостей приводит к возникновению зеркальной оси порядка 2n. Поэтому группы D4d и D6d не являются кристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядков 8 и 12, соответственно. Добавление к группам Dn вертикальных плоскостей вдоль осей второго порядка порождает горизонтальную плоскость симметрии и получаются описанные выше группы Dnh

Группы, состоящие из одной зеркальной оси, обозначаются символом Sn. При нечётном n зеркальная ось эквивалентна наличию поворотной оси порядка n и перпендикулярной к ней плоскости, то есть группе Cnh, поэтому в группах Sn индекс n всегда чётный. К ним относятся S2 (группа, состоящая только из центра инверсии), S4 и S6. Любая зеркальная ось может описываться также, как и инверсионная ось, поэтому возможно альтернативное обозначение этих групп — Cni, где n — порядок инверсионной оси. Получаются Ci = S2, C4i = S4 и C3i = S6.

Кристаллографические точечные группы, в которых присутствуют несколько осей высшего порядка (то есть порядка больше двух), обозначаются символами T или О, в зависимости от присутствующих в них поворотных осей. Дополнительные индексы h и d указывают на наличие горизонтальных (и вертикальных) и диагональных плоскостей симметрии. Если в группе присутствуют только поворотные оси 2 и 3 порядков, то группа обозначается символом T (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в тетраэдре). Если в группе присутствуют только поворотные оси 2, 3 и 4 порядков, то группа обозначается символом O (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в октаэдре). Добавление горизонтальных плоскостей симметрии приводит к группам Th и Oh (Oh — группа симметрии куба и октаэдра). В обеих группах присутствуют как горизонтальные плоскости, так и вертикальные. Добавление диагональных плоскостей к группе T, приводит к группе Td (группа симметрии тетраэдра). Группа Od не существует, так как добавление диагональных плоскостей к группе O приведёт к предельной группе симметрии шара, содержащей все возможные повороты и отражения.

Обозначения Шёнфлиса используются в теории групп, физике и кристаллографии. В символике Шёнфлиса используются только порождающие элементы симметрии (то есть из которых можно вывести все остальные элементы симметрии группы). Обозначения инвариантны относительно выбора системы координат, что одновременно является как достоинством, когда нас просто интересует симметрия системы, так и недостатком, в случае если важна ориентация элементов симметрии точечной группы по отношению к другим объектам, например, системе координат кристалла, или по отношению к осям решётки Браве пространственной группы. Поэтому в кристаллографии чаще используются символы Германа-Могена, особенно для описания пространственных групп.

Символика Германа — Могена (международная символика) В символе Германа — Могена обозначаются симметрически неэквивалентные элементы симметрии. Поворотные оси симметрии обозначают арабскими цифрами — 1, 2, 3, 4 и 6. Инверсионные оси обозначают арабскими цифрами с чёрточкой сверху — , , и . При этом ось , которая является просто плоскостью симметрии, обозначается символом m (англ. mirror — зеркало). Направлением плоскости является направление перпендикуляра к ней (то есть оси ). Зеркальные оси в международной символике не используются. Ориентация элемента относительно координатных осей задаётся позицией элемента в символе группы. Если направление оси симметрии совпадает с направлением плоскости, то они записываются на одной позиции в виде дроби. Если инверсионная ось имеет бо́льшую величину симметрии, чем совпадающая с ней поворотная, то в символе указывают именно её (то есть записывают не , а ; при наличии в группе центра инверсии не 3, а ).

Низшая категория — точечные группы, в которых максимальный порядок любой оси (поворотной или несобственного вращения) равен двум. К ней относятся группы 1, , 2, m, , 222, mm2 и . Если в символе группы три позиции, то

на 1-й позиции — направление вдоль оси X

на 2-й позиции — направление вдоль оси Y

на 3-й позиции — направление вдоль оси Z

В нестандартной установке группа mm2 может быть записана как m2m или как 2mm. Аналогично, группы 2, m и могут быть записаны более подробно — с указанием, вдоль какой координатной оси идёт направление оси второго порядка и/или плоскости. Например, 11m, 1m1 или m11. Эта особенность символики используется для однозначного описания пространственных групп при различном выборе системы координат, так как символы пространственных групп являются производными от символов соответствующих им точечных групп.

Средняя категория — точечные группы, в которых присутствует одна ось порядка выше двух (ось высшего порядка). Тут следует отметить, что в кристаллографии используется кристаллографическая система координат, связанная с симметрией кристалла. В этой системе осями выбираются особые направления в кристалле (направления, вдоль которых идут оси симметрии или трансляции). Поэтому при наличии одной оси 3 или 6 порядка, уголСм. Закон постоянства углов (Стенсен, Нильс) между направлениями X и Y равен 120°, а не 90° как в обычной Декартовой системе координат.

на 1-й позиции — направление главной оси, то есть ось Z

на 2-й позиции — побочное направление. То есть направление вдоль оси X и эквивалентной ей оси Y

на 3-й позиции — диагональное направление между симметрически эквивалентными побочными направлениями

К этой категории относятся группы 3, 4, 6, , , , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, , 2m, m2, , , и .

Поскольку ось 3 и перпендикулярная к ней плоскость эквивалентны оси , то = и m2 = m2, но использовать рекомендуется именно обозначения с инверсионной осью , так как её симметрия выше, чем у оси 3. Группы 2m и m2 могут быть записаны как m2 и 2m. Выше были приведены обозначения, принятые в русскоязычной литературе. Последовательность символов 2 и m в этих группах становятся важна при описании производных от них пространственных групп, так как элемент на второй позиции направлен вдоль оси ячейки Браве, а элемент на третьей позиции направлен по диагонали грани. Например, символы P2m и Pm2 обозначают две разные пространственные группы. Группа 32 тоже может быть более подробно записана как 321 или 312 для разных ориентаций оси 2. Аналогично, различные ориентации приводят к двум разным пространственным группам P321 и P312. То же относится и к группам 3m (альтернативные записи 3m1 и 31m) и (альтернативные записи 1 и 1).

Высшая категория — точечные группы, в которых присутствуют несколько осей высшего порядка.

на 1-й позиции — эквивалентные направления X, Y, Z

на 2-й позиции — всегда присутствующие там четыре оси 3 или

на 3-й позиции — диагональное направление между координатными осями

К этой категории относятся пять групп — 23, 432, , 3m и

Международные символы обычно упрощают, заменяя на m, если ось n порождена другими элементами симметрии, указанными в символе. Нельзя убрать лишь обозначение главной оси в средней категории. Например, записывают как mmm, как mm, а как mm.

Символы Шубникова Символы Шубникова занимают промежуточное положение между символами Шёнфлиса и символами Германа — Могена. По виду они скорее похожи на последние, но по смыслу ближе к символам Шёнфлиса. Так же, как и в символах Германа — Могена, оси обозначаются арабскими цифрами, а плоскость — символом m. Однако для обозначения оси несобственного вращения выбирается зеркальная ось, а не инверсионная, как в международном символе. Зеркальная ось обозначается арабской цифрой со значком тильды: зеркальная ось 2-го порядка (то же, что и центр инверсии ), зеркальная ось 4-го порядка (она же инверсионная ось четвёртого порядка ) и зеркальная ось 6-го порядка (эквивалентна инверсионной оси третьего порядка ). Так же, как и в символах Шёнфлиса, обозначаются только порождающие элементы симметрии. Например, шубниковский символ 4:2, так же как и D4 у Шёнфлиса, обозначает, что группа образована осью 4-го порядка и перпендикулярной к ней осью 2-го порядка, в то время как международный символ 422 указывает также на наличие в группе симметрически неэквивалентных осей второго порядка. Направление побочных осей и плоскостей указывается через знак : если они перпендикулярны главной оси, • — если параллельны главной оси и / — если наклонны по отношению к главной оси. Следует обратить внимание на обозначения групп и . Так же, как и в соответствующих международных символах 2m и m, в них обозначаются оси несобственного вращения, в то время как в символах Шёнфлиса D2d и D3d обозначаются только поворотные оси, входящие в состав осей несобственного вращения (ось 2 входит в и ось 3 входит в ).

Орбифолдное обозначение