Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.
Определение Пусть распределение случайной величины задаётся функцией вероятности: , где . Тогда говорят, что имеет логарифмическое распределение с параметром . Пишут: .
Функция распределения случайной величины кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:
где — неполная бета-функция.
Замечание То, что функция действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора: , откуда .
Моменты Производящая функция моментов случайной величины задаётся формулой , откуда , .
Связь с другими распределениями Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что . Пусть — Пуассоновская случайная величина. Тогда .
Приложения Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе.
Категория:Дискретные распределения Категория:Логарифмы