Распределе́ние Пуассо́на — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.
Определение Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности: , где — количество событий, — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени), обозначает факториал числа , — основание натурального логарифма. Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием , записывается: или .
Моменты Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид: , откуда , .
Для момента -го порядка справедлива общая формула: , где . Фигурные же скобки обозначают числа Стирлинга второго рода.
А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.
Свойства распределения Пуассона Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда .
Пусть , и . Тогда условное распределение при условии, что , биномиально. Более точно: .
C увеличением распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением и сдвигом . Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора в окрестности и тем, что в пределах пика распределения . Тогда получается
Производящая функция распределения Пуассона выглядит так:
Асимптотическое стремление к распределению Довольно часто в теории вероятностей рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин , принимающих целочисленные значения, такую что для всякого выполнено при .
Простейшим примером является случай, когда имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха в каждом из испытаний.
Обратная связь с факториальными моментами Рассмотрим последовательность случайных величин , принимающих целые неотрицательные значения. Если при и любом фиксированном (где — -й факториальный момент), то для всякого при выполнено .
Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном -вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью .
История Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах», в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счётчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.
См. также Биномиальное распределение Обобщенное распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе
Примечания
Литература — С. 135.
Ссылки Распределение Пуассона — онлайн-калькулятор
Категория:Дискретные распределения Категория:Решётчатые распределения