Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии электростатического поля, предложенная физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе
Глубина потенциальной ямы обычно параметризуется в виде: .
Решение уравнения Шрёдингера с потенциальной энергией в форме модифицированной ямы Пёшль — Теллера представляется при помощи функций Лежандра.
Уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера Стационарное уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:
Если ввести обозначение , то оно примет вид:
Решение через гипергеометрические функции После замены переменных
получим
Если подставить решение в виде , то уравнение приводится к гипергеометрическому виду
Обозначая
общее решение примет вид
В качестве фундаментальной системы решений исходного уравнения удобно выбрать чётное и нечётное решение, то есть собственные функции оператора чётности:
Чётное решение соответствует и
Нечётное решение соответствует и
Энергия связанных состояний Для удобства обозначим , тогда энергия запишется как
Параметры гипергеометрических функций примут вид
Чтобы получить нормируемые функции необходимо исключить члены асимптотик неограниченные на бесконечности, для нечётных функций это условие примет вид , для чётных . Объединяя эти условия, получим уровни энергии:
Коэффициенты отражения и прохождения Коэффициенты отражения и прохождения имеют вид:
где введено обозначение
При получим, что и
Таким образом, при модифицированный потенциал Пёшль — Теллера становится безотражательным.
Решение через функции Лежандра Заменой уравнение Шрёдингера может быть сведено к уравнению
Решение этого уравнения может быть представлено через функции Лежандра
где .
См. также Потенциал Пёшль — Теллера
Примечания
Литература
Категория:Потенциал Категория:Квантовая механика