Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йта — Ви́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является классическим примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.
Определение Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью , имеющей вид:
, где — параметр сдвига; — параметр масштаба.
Тогда говорят, что имеет распределение Коши и пишут . Если и , то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.
Функция распределения Функция распределения Коши имеет вид:
.
Она строго возрастает и имеет обратную функцию:
Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.
Моменты Так как интеграл Лебега
не определён для , ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.
Другие свойства Распределение Коши бесконечно делимо. Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если , то
Связь с другими распределениями Если , то . Если — независимые нормальные случайные величины, такие что , то Распределение Коши // risktheory.novosyolov.com. Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента: .
Появление в практических задачах Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (то есть направление прямой изотропно на плоскости). По сути это означает следующееГалкин В. М., Ерофеева Л. Н., Лещева С. В. Оценки параметра распределения Коши. Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. 2014. № 2(104). С. 314: Если , то (−), поэтому . В силу периодичности тангенса равномерность на интервале (−π/2; π/2) одновременно означает равномерность на интервале (−π; π). В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий. Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.
Примечания
Категория:Непрерывные распределения