Эрмитова интерполяция — метод полиномиальной интерполяции, названный в честь французского математика Шарля Эрмита. Многочлены Эрмита тесно связаны с многочленами Ньютона.
В отличие от интерполяции Ньютона, эрмитова интерполяция строит многочлен, значения которого в выбранных точках совпадают со значениями исходной функции в этих точках, и все производные многочлена вплоть до некоторого порядка m в данных точках совпадают со значениями производных функции. Это означает, что n(m + 1) величин
должны быть известны, тогда как для ньютоновской интерполяции необходимы только первые n значений. Полученный многочлен может иметь степень не более, чем максимальная степень многочлена Ньютона же равна n − 1. (В общем случае m не обязательно должно быть фиксировано, то есть в одних точках может быть известно значение большего количества производных, чем в других. В этом случае многочлен будет иметь степень N − 1, где N — число известных значений.)
Использование Простой случай При использовании разделенных разностей для вычисления многочлена Эрмита первым шагом является копирование каждой точки m раз. (Здесь мы рассмотрим простой случай, когда для всех точек .) Поэтому, дана точка , и значения и функции f, которую мы хотим интерполировать. Определим новый набор данных
такой, что
Теперь определим таблицу разделённых разностей для точек . Однако, для некоторых разделенных разностей
что есть неопределённость. В этом случае заменим эту разделённую разность значением , а другие вычислим обычным способом.
Общий случай В общем случае полагаем, что в данных точках известны производные функции f до порядка k включительно. Тогда набор данных содержит k копий . При создании таблицы разделённых разностей при одинаковые значения будут вычислены как
Например:
и так далее.
Пример Рассмотрим функцию . Вычислив значения функции и её первых двух производных в точках , получим следующие данные: {| class="wikitable" style="text-align: center; padding: 1em;" |- | x || ƒ(x) || ƒ'(x) || ƒ''(x) |- | −1 || 2 || −8 || 56 |- | 0 || 1 || 0 || 0 |- | 1 || 2 || 8 || 56
Так как мы работаем с двумя производными, строим множество . Таблица разделенных разностей тогда имеет вид:
и получаем многочлен
взятием коэффициентов диагонали таблицы разделенных разностей, и умножением коэффициента с номером k на , как при получении многочлена Ньютона.
Погрешность эрмитовой интерполяции Назовем найденный многочлен H и исходную функцию f. Для точек , функция ошибки определяется как
где c — неизвестная из диапазона , K на единицу больше общего числа данных значений, а на единицу больше числа производных, известных в точке .
См. также Интерполяционные формулы Ньютона
*