Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.
Определение Пусть функции удовлетворяют свойству: для некоторой предельной точки области определения функции f(x). Последовательность функций , удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: , для которого выполняются условия :
или эквивалентно:
называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:
Отличие сходящегося ряда и асимптотического разложения для функции можно проиллюстрировать так: для сходящегося ряда при любом фиксированном ряд сходится в значение при , тогда как при асимптотическом разложении при фиксированном ряд сходится в значение в пределе ( может быть и бесконечным).
Асимптотическое разложение Эрдейи Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность , что
Этот факт записывается в следующем виде:
Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто мало полезна для числовых вычислений и редко используется.
Примеры Гамма-функция
Интегральная показательная функция
Дзета-функция Римана где — числа Бернулли и . Это разложение справедливо для всех комплексных s. Функция ошибок
Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служитRoderick Wong. Asymptotic approximations of integrals. Academic Press, London, 1989 ст. 13:
Примечания
Литература Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985. Эрдейи А. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., 1962 Копсон Э. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — , Мир, 1966. Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975
Категория:Ряды Категория:Математический анализ