Сублинейной функцией в математике называется функция над действительным векторным пространством (более обще вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия: для всех и всех x ∈ V (положительная однородность),
для всех x, y ∈ V (субаддитивность).
Эквивалентные определения Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство: для всех x, y ∈ V и . Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:
Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.
Другое альтернативное определение: функция является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие: для всех x, y ∈ V и всех .
Примеры Каждая линейная функция является, очевидно, сублинейной. Сублинейной будет также и функция , если — линейная. Длина вектора в -мерном евклидовом пространстве является сублинейной функцией. Здесь условие субаддитивности означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин (неравенство треугольника), а положительная однородность непосредственно следует из определения длины вектора в Пусть M — пространство ограниченных последовательностей Функционал:
является сублинейным.
Свойства Данное утверждение получается подстановкой x = 0 в уравнение положительной однородности. Ненулевая сублинейная функция может быть неотрицательной, но если , тогда данная функция всюду равна нулю. Это следует из неравенства:
согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным. Для любого выполняется неравенство:
При это следует из определения положительной однородности, при — из первого свойства, если же , то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:
или:
См. также Теорема Хана — Банаха
Категория:Типы функций