Интервалы между простыми числами — это разности между двумя последовательными простыми числами. n-й интервал, обозначаемый , — это разность между (n + 1)-м и n-м простыми числами, то есть

Мы имеем: . Последовательность интервалов между простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию вместо

Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 .

Простые замечания Для любого простого числа P, символом P# мы будем обозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P. Если Q — это простое число, следующее за P, то последовательность

является последовательностью из последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем . Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, и для любого простого P существует n такое, что (Очевидно, что для этого мы можем выбрать n таким, что будет наибольшим простым числом, не превосходящим .). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, использует тот факт, что множество простых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределении простых чисел.

На самом деле, интервал между простыми величины P может встретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P#. Например, самая первая последовательность из 71 последовательных составных чисел находится между 31398 и 31468, в то время как 71# является 27-значным числом.

Уже среднее значение интервалов между простыми растёт как натуральный логарифм n.

С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что для бесконечно многих n.

Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощью функции Якобсталя ().

Численные результаты На 16 апреля 2022 года наибольший известный интервал между 208095-значными числами, определёнными как вероятно простые, имеет длину 7186572 и M = 14.9985. Он был найден Michiel Jansen с помощью программы, созданной J. K. Andersen.

На 8 марта 2013 года наибольший известный интервал между 18662-значными доказанными простыми числами имеет длину 1113106 и M = 25.90. Он был найден P. Cami, M. Jansen и J. K. Andersen.

Отношение M=gn/ln(pn) показывает, во сколько раз данный интервал gn отличается от среднего интервала между простыми вблизи простого числа pn. На 2017 год наибольшее известное значение M=41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределённых вычислений Gapcoin.

Отношение S=gn/ln2pn (oтношение Крамера — Шенкса — Грэнвилля) изучают в связи с гипотезой Крамера, утверждающей, что . Если не рассматривать аномально высокие значения S, наблюдающиеся для то наибольшее известное значение S=0,9206386 обнаружено для интервала длиной 1132, следующего за 16-значным простым числом 1693182318746371. Этот рекорд нашёл в 1999 году Bertil Nyman ( содержит это и все предшествующие простые числа , соответствующие рекордным значениям S).

Будем говорить, что является максимальным интервалом, если для всех будет . Между первыми простыми числами наблюдается приблизительно максимальных интервалов; см. также .

+ Первые 81 максимальных интервалов (n не приводится; см. )+ От 1 до 30 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 112910 34 132711 36 955112 44 1568313 52 1960914 72 3139715 86 15592116 96 36065317 112 37026118 114 49211319 118 134953320 132 135720121 148 201073322 154 465235323 180 1705170724 210 2083132325 220 4732669326 222 12216474727 234 18969565928 248 19191278329 250 38709613330 282 436273009+ От 31 до 60 # gn pn31 288 129426849132 292 145316814133 320 230094254934 336 384261077335 354 430240735936 382 1072690465937 384 2067804829738 394 2236708495939 456 2505608208740 464 4265261834341 468 12797633467142 474 18222689623943 486 24116062414344 490 29750107579945 500 30337145524146 514 30459950853747 516 41660869582148 532 46169051001149 534 61448745352350 540 73883292792751 582 134629431074952 588 140869549360953 602 196818855646154 652 261494171059955 674 717716261171356 716 1382904855970157 766 1958133419242358 778 4284228392535159 804 9087432941149360 806 171231342420521+ От 61 до 80 # gn pn61 906 21820940543654362 916 118945996982548363 924 1686994940955803641132 1693182318746371651184 43841547845541059661198 55350776431903243671220 80873624627234849681224 203986478517455989691248 218034721194214273701272 305405826521087869711328 352521223451364323721356 401429925999153707731370 418032645936712127741442 804212830686677669751476 1425172824437699411761488 5733241593241196731771510 6787988999657777797781526 15570628755536096243791530 17678654157568189057801550 18361375334787046697811552 1847005794626069823182 83 84 85 86 87 88 89 90 19 июня 2021 года Craig Loizides сообщил о нахождении 81-го кандидата (gn=1552 pn=18470057946260698231) и 15 июля 2021 года — о нахождении 82-го кандидата (gn=1572 pn=18571673432051830099), отметив, что эти результаты были получены с помощью его собственного кода для графического процессора, и не являются 100% достоверными.

25 августа 2023 года стартовал проект по проверке этих двух результатов с помощью программы Gapfinder для ОС Windows, работающей на центральном процессоре. Завершение проекта ожидается в 2024-м году.

83-й (gn=1614 pn=70835512978308848889799) и 84-й кандидаты (gn=1638 pn=70835517346711648260809) также были найдены Craig Loizides в 2021 году. Они состоят уже из 23 десятичных цифр, и их проверка потребует неопределенно долгого времени.

Сложность поиска и подтверждения рекордов выше 80-го заключается в переходе через пороговое значение 264 (разрядная сетка ЭВМ), что требует создания/использования специализированного программного обеспечения, при этом выполнение математических операций над числами длиннее 64 бит существенно замедляется.

Наибольшие интервалы первых десяти тысяч Уже во второй тысяче имеется интервал, длиной 34 числа, в котором нет простых чисел — (1327—1361). Причём, этот интервал удерживает свой рекорд длины до десятой тысячи. Лишь в девятой тысяче имеется второй интервал такой же длины — (8467—8501), а в десятой — более длинный интервал (36 чисел) — (9551—9587), который и является самым длинным интервалом первых десяти тысяч. Имеется также интервал длиной 32 числа — (5591—5623).

Дальнейшие результаты

Верхние оценки Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, в частности, , откуда .

Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок . Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхнюю оценку для длины интервалов простых чисел: для любого существует такое N, что для всех будет .

Хохайзель первым показал что существует такое постоянное

при

отсюда следует, что

для достаточно большого n.

Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для . Эта оценка была улучшена до 249/250 Хайльброном, и до для любого Чудаковым.

Основное улучшение было получено Ингемом, который показал, что если

для некоторой константы , где O используется в смысле нотации O большое, то

для любого . Здесь, как обычно, обозначает дзета функцию Римана, а  — функция распределения простых чисел не превосходящих x. Известно, что допускается , откуда в качестве можно взять любое число, большее . Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами и для достаточно больших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа, которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число между и для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера. Одним из достигнутых приближений к гипотезе Лежандра является доказанный факт о том, что .

Мартин Хаксли показал, что можно выбрать .

Последний результат принадлежит Бакеру, Харману и Пинцу, показавшим, что может быть взято равным 0,525.

В 2005, Дэниел Голдстон, Янос Пинц и Джем Йылдырым доказали, что

и позже улучшили это до

В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что

Этот результат многократно улучшался вплоть до

В частности, отсюда следует, что множество всех пар простых чисел, разницы между которыми не превосходит 246, бесконечно>.

Нижние оценки Роберт Ранкин доказал, что существует константа такая, что неравенство

сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это , где  — постоянная Эйлера-Маскерони. Пауль Эрдёш предложил приз в $5000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.

Гипотезы об интервалах между простыми числами

Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут быть получены при предположении истинности гипотезы Римана. Харальд Крамер доказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы удовлетворяют соотношению

(здесь используется нотация O большое). Позже он предположил, что интервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

В данный момент на это указывают численные расчёты. Для более детальной информации см. Гипотеза Крамера.

Гипотеза Андрицы утверждает, что

Это слабое усиление гипотезы Лежандра, которая утверждает, что между любой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простое число.

Интервалы между простыми как арифметическая функция Интервал между n-м и (n + 1)-м простым числом является примером арифметической функции. В таком контексте обычно её обозначают и называют разностью между простыми. Разность между простыми не является ни мультипликативной, ни .

См. также Гипотеза Римана Гипотеза Крамера Гипотеза Лежандра Гипотеза Фирузбэхт Гипотеза Харди — Литтлвуда Открытые проблемы в теории чисел

Примечания

Ссылки Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers — Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.

http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143 Chris Caldwell, Gaps Between Primes

Категория:Теория простых чисел Категория:Арифметические функции Категория:Аналитическая теория чисел