Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел формулой: ,

где  — функция Мёбиуса. Иными словами,  — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих и содержащих чётное число простых множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число простых множителей.

Может быть расширена на все положительные действительные числа следующим образом: .

Названа в честь Франца Мертенса, предложившего в 1897 году в связи с этой функцией гипотезу Мертенса (позднее отвергнутую).

Свойства Модуль функции не превосходит аргумент: .

Нетривиальное доказанное свойство — . Также установлено, что , где  — целая часть числа .

Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта: если , то при справедливо тождество: , где  — сумматорная функция последовательности .

В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые при :  — характеристическое свойство функции Мертенса; , где  — вторая функция Чебышёва; ; , где  — функция Мангольдта; , где  — количество делителей числа .

Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях : 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 …

Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения , функция Мертенса изменяется медленно: для всех верно, что . Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из : . Однако, гипотеза была опровергнута 1985 году и . Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте , а именно . Поскольку наибольшие значения растут как минимум так же быстро, как и корень из , это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса ( обозначает O большое).

Первые 160 значений 123456789101112131415161718192010-1-1-2-1-2-2-2-1-2-2-3-2-1-1-2-2-3-32122232425262728293031323334353637383940-2-1-2-2-2-1-1-1-2-3-4-4-3-2-1-1-2-1004142434445464748495051525354555657585960-1-2-3-3-3-2-3-3-3-3-2-2-3-3-2-2-10-1-16162636465666768697071727374757677787980-2-1-1-10-1-2-2-1-2-3-3-4-3-3-3-2-3-4-481828384858687888990919293949596979899100-4-3-4-4-3-2-1-1-2-2-1-1012211111011021031041051061071081091101111121131141151161171181191200-1-2-2-3-2-3-3-4-5-4-4-5-6-5-5-5-4-3-3121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140-3-2-1-1-1-1-2-2-1-2-3-3-2-1-1-1-2-3-4-4141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160-3-2-1-1011100-1-1-1-2-1-1-2-100

Интегральное представление Используя произведение Эйлера можно получить следующее представление: ,

где  — это дзета-функция Римана, а произведение берётся по всем простым . Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, получается:

где  — замкнутая кривая, окружающая все корни .

Для обращения используется преобразование Меллина:

которое сохраняется при .

Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни , получается «точная формула» по теореме о вычетах:

Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению:

где  — функция Хевисайда,  — числа Бернулли, и все производные по вычисляются при .

Титчмарш (1960) доказал следующую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме:

где в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а связаны преобразованием Фурье, так что: .

Представление через последовательность Фарея Другая формула для функции Мертенса:

,

где  — последовательность Фарея порядка .

Эта формула используется в доказательстве теореме Франеля — ЛандауEdwards, Ch. 12.2.

Выражение через определитель равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка , в которой тогда и только тогда, когда или .

Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:

Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.

Решением системы являются числа в силу характеристического свойства функции Мертенса:

При решении системы по правилу Крамера с учётом, что определитель системы равен 1, получается, что , равный , равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка .

Вычисление Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов : Мертенс (1897) — 104, фон Штернек (1897) — 1,5, фон Штернек (1901) — 5, фон Штернек (1912) — 5, Нойбауэр (1963) — 108, Коэн и Дресс (1979) — 7,8, Дресс (1993) — 1012, Лиун и ван де Луне (1994) — 1013, Котник и ван де Луне (2003) — 1014

Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих , может быть вычислена за время . Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение за время .

Приложения В элементарном доказательстве теоремы о распределении простых чисел Гельфонд доказал и использовал тот факт, что из следует .

Примечания

Литература

Ссылки

F. Mertens, «Uber eine zahlentheoretische Funktion», Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761—830. A. M. Odlyzko and Herman te Riele, «Disproof of the Mertens Conjecture», Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357, (1985) pp. 138—160.

Deleglise, M. and Rivat, J. «Computing the Summation of the Mobius Function.» Experiment. Math. 5, 291—295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447

Категория:Арифметические функции Категория:Аналитическая теория чисел