Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.
Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида
где — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при )
и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом
где — число решений изучаемого уравнения.
В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида
которые положили начало использованию тригонометрических сумм. Основы методов применения тригонометрических сумм к анализу уравнений в целых и простых числах были разработаны Харди, Литтлвудом и Виноградовым.
Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество: , которое стало основанием для теорий дзета-функций. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения лежат на так называемой критической прямой , где — дзета-функция Римана.
Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что , при этом функция , получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций.
Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих , обозначенное как , стремится к бесконечности по следующему закону: , где и .
Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.
См. также Теория чисел
Примечания // Большая советская энциклопедия
Литература
Категория:Аналитическая теория чисел