Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.
Определение Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности , имеющей вид: , где произвольные фиксированные параметры, и — бета-функция. Тогда случайная величина имеет бета-распределение. Пишут: .
Форма графика Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров и .
— график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая); или — график строго убывающий (синяя кривая) — график строго выпуклый; — график является прямой линией; — график строго вогнутый; график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения; или — график строго возрастающий (зелёная кривая); — график строго выпуклый; — график является прямой линией; — график строго вогнутый; — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)
В случае, когда , плотность вероятности симметрична относительно (красная и пурпурная кривые), то есть .
Моменты Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей бета-распределение, имеют вид: , . Моменты старших порядков случайной величины , имеющей бета-распределение, имеют вид:
где (x)(k) - возрастающий факториал.
Связь с другими распределениями Бета-распределение является распределением Пирсона типа I. Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения: . Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений. Если — независимые гамма-распределённые случайные величины, причём , а , то .
Примечания
Литература
Категория:Непрерывные распределения