Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.
Позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и так далее. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).
+ Свойства алгебр Кэли — ДиксонаАлгебраРазмер-ность(n) Упорядо-ченность Свойства умножения Отсутствие делителейнуля Коммута-тивность Ассоциа-тивность Альтерна-тивность Степеннаяассоциа-тивность Действитель-ные числа () 1 Комплексныечисла () 2 Кватернионы () 4 Октонионы () 8 Седенионы () 16 rowspan=2 rowspan=2 rowspan=2 rowspan=2 rowspan=2 rowspan=2 > 16
Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения.
В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности: если для некоторых чисел и существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как (композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел : — закон умножения пар, — сопряжённая пара.
Свойства (Расширенная) норма упорядоченной пары: — равна нулю только при .
Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление определяется как или — значит, из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.
Если для чисел выполняется , это выполняется и для упорядоченных пар: .
Если исходная алгебра ассоциативна, то расширенная алгебра нормирована, поскольку: .
В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.
Наследуемые Если исходная алгебра имеет единицу, то — единица в расширенной алгебре.
Если в исходной алгебре всякий элемент вида или ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней.
Ослабляемые Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида или коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.
Можно проследить на примере чисел, как из поля вещественных чисел с тождественным сопряжением получается поле комплексных чисел (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) кватернионов , откуда получается неассоциативная алгебра , но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, так как умножение перестанет быть совместимо с нормой.
Приложения Процедура Кэли — Диксона соответствует определению комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных чисел.
Произвольный кватернион можно представить в виде или, эквивалентно, где — комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а . Если результат умножить на кватернион , то получается: .
Поскольку то, переставляя множители, получим: .
Следовательно, кватернионы можно определять как выражения вида , удовлетворяющие вышеприведённой формуле умножения. Эта формула примечательна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (то есть кватернионов с ).
Обобщения Стандартная процедура строит гиперкомплексные системы, когда мнимая единица расширения имеет квадрат, равный −1, но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взятьАльберт, Абрахам Адриан. Quadratic forms permitting composition. Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161—177 как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (алгебра Клиффорда). В этом случае норму и сопряжения (разного вида) строятся более сложным образом, также могут даже возникнуть и нетривиальные делители нуля.
Примечания
Литература
HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996—2006 И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, «Наука». — 1973. Е. А. Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»
Категория:Гиперкомплексные числа Категория:Алгебры над кольцами