Логнорма́льное распределе́ние (логарифмически-нормальное) в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.
Определение Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:
где . Тогда говорят, что имеет логнормальное распределение с параметрами и . Пишут: .
Моменты Формула для -го момента логнормальной случайной величины имеет вид:
откуда, в частности:
— математическое ожидание, — дисперсия, Асимметрия всегда положительна.
Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле: , где и — параметры многомерного совместного распределения. — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, — второй нецентральный момент первой компоненты, — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.
Свойства логнормального распределения Если — независимые логнормальные случайные величины, такие что , то их произведение также логнормально: .
Связь с другими распределениями Если , то . И наоборот, если , то .
Моделирование логнормальных случайных величин Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.
Вариации и обобщения Одним из возможных обобщений является усечённое логнормальное распределение, описываемое плотностью вероятности:
где .
Приложения Логнормальное распределение часто возникает в природе и широко используется для описания разных параметров в различных дисциплинах. Например, в медицине его могут применять для инкубационных периодов случаев какого-либо заболевания, в геологии — для концентрации редких элементов в горных породах, в лингвистике — для количества слов в предложениях. Распределение частиц по размерам в разных системах также часто оказывается близко к логнормальному. Однако здесь есть исключения, например, распределение астероидов по размерам в Солнечной системе подчиняется степенному закону.
Примечания
Литература
Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press. Eric W. Weisstein et al. Log Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved October 26, 2006.
Категория:Непрерывные распределения