Смешанный объём — числовая характеристика набора из выпуклых тел в -мерном евклидовом пространстве.
Смешанный объём набора обычно обозначается .
Определение Пусть набор из выпуклых тел в и положительные вещественные числа. Обозначим через объём тела
где «» обозначает сумму Минковского и
Функция является однородным многочленом степени . Коэффициент этого многочлена при по определению равен .
Заметим, что
Свойства Для произвольных неотрицательных чисел ,
Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе. Смешанный объём монотонен по включению тел. Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа. Смешанный объём неотрицателен. Более того, тогда и только тогда, когда в каждом можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы. Для неотрицательного целого смешанный объём копий выпуклого тела в и копий единичного шара выражается через -тую среднюю поперечную меру . В частности Смешанный объём набора из копий равен обычному объёму . Смешанный объём набора из копий и единичного шара равен площади поверхности . Типичное число решений системы полиномиальных уравнений равно смешанному объёму многогранников Ньютона . неравенство Минковского
неравенство Александрова — Фенхеля
См. также Теорема Хадвигера
Литература Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980. Категория:Выпуклая геометрия Категория:Интегральная геометрия