Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически.
Некоторые характеристические свойства плоскости Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки; Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой. Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу. Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
Уравнения плоскости Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).
Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).
Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
Общее уравнение (полное) плоскости
где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :
Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) плоскость параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).
Уравнение плоскости в отрезках:
где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .
Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярной вектору нормали :
в векторной форме:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки и противоположны).
Определение по точке и вектору нормали В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.
Допустим, является радиусом-вектором точки , заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от к , перпендикулярен n.
Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что: (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.) Развернув выражение, мы получим:
что является знакомым нам уравнением плоскости.
Например: Дано: точка на плоскости и вектор нормали .
Уравнение плоскости записывается так:
Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением
,если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:
Расстояние между параллельными плоскостями Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
Связанные понятия Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
Если в векторной форме, то
Плоскости параллельны, если
или (Векторное произведение)
Плоскости перпендикулярны, если
или . (Скалярное произведение)
Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид:
где и — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
где , и — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.
Вариации и обобщения
Плоскости в неевклидовом пространстве Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости.
Многомерные плоскости Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат . m-плоскостью называется множество точек , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, — вектор переменных, — радиус-вектор одной из точек плоскости. Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный: — векторное уравнение m-плоскости. Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и .
(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть — нормальный вектор плоскости, — вектор переменных, — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда: — общее уравнение плоскости. Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: , или: . Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.
Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.
См. также Сагиттальная плоскость Полуплоскость Пространство
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Стереометрия Категория:Квадрики