Фо́рмула Остроградского — Гаусса связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.
Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.
Формулировка Поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от взятому по объему , ограниченному поверхностью
В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:
- проекции вектора Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса: 1) в бездивергентном поле () поток вектора через любую замкнутую поверхность , являющуюся полной границей некоторого тела , равен нулю. 2) если внутри замкнутой поверхности имеется источник или сток, то поток вектора через эту поверхность, убывающий с расстоянием как , не зависит от её формы.
Замечания В работе Остроградского формула записана в следующем виде:
где и — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.
Современная запись формулы:
где , и . В современной записи — элемент объёма, — элемент поверхности.
Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.
История Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 — 172. Репринтное издание: «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; на страницах 263—265 Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям..
Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамикиАлександрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151..
В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации -кратного интеграла.
За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» (), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».
См. также Теорема Стокса Теорема Грина Бикватернионная формула Остроградского — Гаусса
Примечания
Литература
Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831). Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).
Категория:Интегральное исчисление Гаусса — Остроградского Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса Гаусса — Остроградского