Пространство состояний — множество всех возможных конфигураций системы, описывающее её поведение с помощью набора переменных. В теории управления это метод описания динамических систем с помощью дифференциальных или разностных уравнений первого порядка, связанных с входными, выходными и внутренними переменными состояния. В информатике оно представляет собой дискретное пространство всех возможных состояний, используемое для рассуждений о системе, например, в играх или искусственном интеллекте. В теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.
Определение Пространство состояний обычно называют фазовым пространством динамической системы, а траекторию движения изображающей точки в этом пространстве — фазовой траекторией.
В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.
Линейные непрерывные системы
Для случая линейной системы с входами, выходами и переменными состояния описание имеет вид:
где
, , , , : — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы — вектор выхода, — вектор управления, — матрица системы, — матрица управления, — матрица выхода, — матрица прямой связи. Часто матрица является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.
Дискретные системы Для дискретных систем запись уравнений в пространстве основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях:
Нелинейные системы Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:
или в более компактной форме:
.
Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.
Линеаризация В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки . В установившемся режиме для рабочей точки справедливо следующее выражение:
Вводя обозначения:
Разложение уравнения состояния в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:
При взятии частных производных вектор-функции по вектору переменных состояний и вектору входных воздействий получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций: .
Аналогично для функции выхода:
Учитывая , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:
где .
Примеры
Модель в пространстве состояний для маятника Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:
где — угол отклонения маятника. — приведённая масса маятника — ускорение свободного падения — коэффициент трения в подшипнике подвеса — длина подвеса маятника В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:
где — угол отклонения маятника — угловая скорость маятника — угловое ускорение маятника
Запись уравнений состояния в общем виде:
.
Линеаризация модели маятника Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия имеет вид:
При отсутствии трения в подвесе () получим уравнение движения математического маятника:
См. также
Теория управления Фазовое пространство Критерий устойчивости в пространстве состояний Пространство понятий Система отсчёта Модальное управление
Литература Книги
Статьи
Ссылки Исходные дифференциальные уравнения САР
Категория:Теория управления