Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины при выполнении некоторого условия (реализации каких-то событий). Часто в качестве условия выступает фиксированное на некотором уровне значение другой случайной величины, которая может быть связана с данной (если эти случайные величины независимы, то условное математическое ожидание совпадает с (безусловным) математическим ожиданием). В этом случае условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение обозначается как , соответственно, ее можно рассматривать как функцию от . Эта функция называется функцией регрессии случайной величины на случайную величину и поэтому условное математическое ожидание обозначают как , то есть без указания фиксированного значения .
Условное математическое ожидание - это характеристика условного распределения.
Определения
Будем считать, что дано вероятностное пространство . Пусть — интегрируемая случайная величина, то есть . Пусть также — σ-подалгебра σ-алгебры .
УМО относительно σ-алгебры
Случайная величина называется условным математическим ожиданием относительно σ-алгебры , если измерима относительно . , где — индикатор события (иными словами, это характеристическая функция множества-события, аргументом которой является случайная величина или элементарный исход). Условное математическое ожидание обозначается .
Пример. Пусть Положим . Тогда — σ-алгебра, и . Пусть случайная величина имеет вид . = , = . Возьмём , принимает , принимает Вычислим математические ожидания: , = Возьмём , принимает , принимает Вычислим математические ожидания: , = ; Тогда:
УМО относительно семейства событий
Пусть — произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием относительно называется , где — минимальная сигма-алгебра, содержащая .
Пример. Пусть Пусть также . Тогда . Пусть случайная величина имеет вид . Тогда
УМО относительно случайной величины
Пусть другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием относительно называется , где — σ-алгебра, порождённая случайной величиной .
Другое определение УМО относительно :
Такое определение конструктивно описывает алгоритм нахождения УМО: найти математическое ожидание случайной величины , принимая за константу ; Затем в полученном выражении обратно заменить на случайную величину .
Пример:
Условная вероятность
Пусть — произвольное событие, и — его индикатор. Тогда условной вероятностью относительно называется .
Замечания
Условное математическое ожидание — это случайная величина, а не число. Условное математическое ожидание определено с точностью до событий вероятности нуль. Таким образом, если и -почти всюду, то . Отождествив случайные величины, различающиеся лишь на событиях вероятности нуль, получаем единственность условного математического ожидания. Взяв , получаем по определению: , и в частности справедлива формула полной вероятности: .
Пусть σ-алгебра порождена разбиением . Тогда . В частности формула полной вероятности принимает классический вид: , а следовательно .
Основные свойства
Если , то существует борелевская функция , такая что . Условное математическое ожидание относительно события по определению равно .
Если п.н., то п.н. Если независима от , то п.н. В частности, если независимые случайные величины, то п.н. Если — две σ-алгебры, такие что , то .
Если — -измерима, и — случайная величина, такая что , то .
«Математическое ожидание убирает условие». Это правило верно для УМО относительно случайной величины (УМО в таком случае будет случайной величиной) и для условной вероятности относительно случайной величины .
Дополнительные свойства
Теорема Леви о монотонной сходимости; Теорема Лебега о мажорируемой сходимости; Лемма Фату; Неравенство Йенсена.
УМО для дискретных величин
Пусть — дискретная случайная величина, чьё распределение задаётся функцией вероятности . Тогда система событий является разбиением , и , а , где означает математическое ожидание, взятое относительно условной вероятности .
Если случайная величина также дискретна, то , где — условная функция вероятности случайной величины относительно .
УМО для абсолютно непрерывных случайных величин
Пусть — случайные величины, такие что вектор абсолютно непрерывен, и его распределение задаётся плотностью вероятности . Введём условную плотность , положив по определению , где — плотность вероятности случайной величины . Тогда , где функция имеет вид . В частности, .
УМО в L2
Рассмотрим пространство случайных величин с конечным вторым моментом . В нём определены скалярное произведение , и порождённая им норма .
Множество всех случайных величин с конечным вторым моментом и измеримых относительно , где , является подпространством . Тогда оператор , задаваемый равенством , является оператором ортогонального проектирования на . В частности: Условное математическое ожидание — это наилучшее средне-квадратичное приближение -измеримыми случайными величинами: . Условное математическое ожидание сохраняет скалярное произведение: . Условное математическое ожидание идемпотентно: .
См. также Условное распределение
Категория:Теория вероятностей Категория:Средние величины