Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.
Формулировка
Пусть даны два метрических пространства и Пусть также дано компактное подмножество и определённая на нём непрерывная функция Тогда равномерно непрерывна на
Замечания
В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, равномерно непрерывна на нём.
В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция
непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.
История
Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне.Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), pp. 353–365 Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале.Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172–188. В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.
Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.Rusnock, Paul, and Angus Kerr-Lawson. "Bolzano and uniform continuity." Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.
Литература
Категория:Теоремы математического анализа