Полукольцо — общеалгебраическая структура с двумя бинарными операциями, удовлетворяющая всем аксиомам кольца, кроме существования противоположных элементов по сложению. Может быть описана как алгебраическая система такая, что является коммутативным моноидом с нейтральным элементом , — полугруппа с нулём, умножение дистрибутивно относительно сложения: , .
Полугрупповое условие для аксиоматического задания кольца не требуется, поскольку оно следует из других аксиом, но для полукольца оно необходимо. Отличие полукольца от кольца состоит только в том, что по сложению полукольцо образует не коммутативную группу, а только коммутативный моноид.
Полукольцо называется коммутативным, если операция умножения в нём коммутативна: ; полукольцом с единицей, если обладает нейтральным элементом по умножению: ; идемпотентным (аддитивно идемпотентным), если выполняется равенство ; мультипликативно идемпотентным, если выполняется .
Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) сократимым, если из равенства (или, соответственно, ) следует, что .
Полутело — полукольцо с делением, то есть полукольцо, все элементы которого, кроме нуля, обратимы относительно умножения; полуполе — коммутативное полутело. Дистрибутивная решётка — коммутативное, аддитивно и мульипликативно идемпотентное полукольцо с поглощением ().
Другой вариант обобщения понятия кольца — почтикольцо — кольцоид над группой. Иногда полукольцом считается структура, являющаяся левым и правым кольцоидом над полугруппой (то есть связанная только дистрибутивными законами, без требования коммутативности и аддитивного нуля); в этом случае комутативное полукольцо с нулём (иногда с единицей), также называют правильным полукольцом или квазикольцом.
Впервые явно понятие полукольца ввёл в 1934 году Вэндивер, хотя ещё Дедекинд изучал структуру всех идеалов кольца относительно сложения и умножения, являющуюся полукольцом. Активное изучение полуколец началось в 1950-е годы, прежде всего в связи с приложениями в теории кодирования, компьютерной алгебре, оптимальном управлении; в дальнейшем найдены важные применения в теории категорий, топологии, алгебраической геометрии.
Примеры Натуральные числа с нулём образуют полукольцо; оно также является полуполем.
Тривиальное полукольцо: . Двухэлементные полукольца: , , где обозначает дизъюнкцию, а — логическую операцию «исключающее или» на множестве .
Квадратные матрицы с элементами из любого полукольца и операциями матричного сложения и умножения образуют полукольцо.
Если — коммутативный моноид, то множество эндоморфизмов образует полукольцо, где сложение определено поточечно, а умножение — как композиция функций.
Многочлены с натуральными коэффициентами образуют коммутативное полукольцо; это свободное коммутативное полукольцо с единственным генератором .
Вероятностное полукольцо — неотрицательные действительные числа с обычными операциями сложения и умножения.
и — идемпотентные полукольца расширенной числовой прямой, в которых сложение определено как взятие минимума (соответственно максимума), а умножение — как обычное сложение вещественных чисел; лежат в основе тропической геометрии (в российской школе называемой также идемпотентным анализом).
Приложения Идемпотентные кольца, особенно тропические полукольца, используются во многих других приложениях, например, в методах оценки персонала. Вещественные числа здесь обозначают «время прибытия» или «затраты», операция обозначает необходимость ожидать выполнения всех предпосылок для совершения действия (соответственно, обозначает способность выбрать наименее затратный вариант) и обозначает сложение времени (затрат) при прохождении одного и того же пути.
Алгоритм Флойда — Уоршелла поиска кратчайших путей может быть переформулирован для вычислений над -алгеброй. Также и алгоритм Витерби поиска наиболее вероятной последовательности состояний в скрытой марковской модели может быть переформулирован для вычислений над -алгеброй вероятностей. Эти алгоритмы динамического программирования используют дистрибутивность соответствующих полуколец для расчёта свойств при использовании большого (возможно, экспоненциально большого) числа переменных более эффективно, чем перечисляя каждую из них.
Полукольцо множеств Полукольцо множествNoel Vaillant, Caratheodory’s Extension , on probability.net. — система множеств , для которой выполнены следующие условия:
.
Таким образом, полукольцо множеств содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения и любая разность множеств из полукольца множеств представима в виде конечного объединения дизъюнктных (попарно не пересекающихся) множеств, принадлежащих этому полукольцу множеств. Такие полукольца часто используются в теории меры.
Полукольцом множеств с единицей называют полукольцо множеств с таким элементом , что его пересечение с любым элементом полукольца множеств равно .
Если множества являются элементами и подмножествами элемента , то их можно дополнить непересекающимися элементами до . Если , тогда найдутся такие попарно непересекающиеся , что каждое из представимо в виде объединения некоторых из . Для любого элемента полукольца система множеств — полукольцо. Прямое произведение полуколец является полукольцом.
Примечания
Литература
Категория:Универсальная алгебра Категория:Теория колец Категория:Алгебраические структуры