Неравенство Юнга (Янга) — соотношение для непрерывной строго возрастающей функции , обращающейся в нуль в нуле: для любых и выполнено:
, где — функция, обратная . Равенство достигается тогда и только тогда, когда .
Установлено в 1912 году Уильямом Янгом.
Естественное следствие — (в тех же условиях). Неравенство Фенхеля может быть рассмотрено как обобщение этого следствия — результат распространяется на пару выпукло-сопряжённых функций и в соответствующих векторных пространствах и (двойственном пространстве): .
Также из этого следствия при , и, соответственно , может быть получено числовое неравенство Юнга: если — сопряжённые показатели (то есть такие числа, что ), то: ; равенство достигается при . Этот результат весьма востребован в различных направлениях анализа, в частности, используется в доказательстве неравенства Гёльдера, применяется для оценки норм нелинейных членов дифференциальных уравнений в частных производных.
Функции: и в связи с неравенством называются двойственными по Юнгу. Если двойственна по Юнгу с , а — двойственна по Юнгу с , то из при достаточно больших следует, что при достаточно больших .
Примечания
Литература
Категория:Числовые неравенства Категория:Математический анализ