Сходимость по ме́ре — вид сходимости измеримых функций, заданных на пространстве с мерой: последовательность почти всюду конечных измеримых вещественных функций , заданных на пространстве с мерой сходится к по мере , если для любого множество различающихся более, чем на значений между функциями последовательности от , стремится к мере нуль: .
Сходимость по мере на измеримом множестве — соответствующее свойство на : . Локальная сходимость по мере — сходимость на всех ; иногда в этом контексте о сходимости на говорят как о глобальной сходимости по мере. В случае конечной меры локальная и глобальная сходимость эквивалентны.
Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений, принимающих значения в произвольных измеримых метрических пространствах; в частности, все основные свойства сходимости по мере сохраняются для сепарабельных банаховых пространств.
Стандартные обозначения (глобальной) сходимости по мере : , , .
Свойства Последовательность называется фундаментальной по мере , если: ; сходимость по мере и фундаментальность по мере эквивалентны.
Если последовательность сходится по мере к , то у неё существует подпоследовательность, сходящаяся почти всюду к (Рис). Если конечна, то сходимость почти всюду к почти всюду конечной функции эквивалентна сходимости по мере (критерий сходимости по мере). Если же , то даже сходимость всюду, вообще говоря, не влечёт сходимости по мере.
Сходимость в среднем порядка (то есть сходимость в , при ) влечёт сходимость по мере к той же предельной функции; обратное, вообще говоря, неверно.
Посредством введения семейства псевдометрик над :
строится топологическое пространство, в котором локальная сходимость по мере эквивалентна сходимости в индуцированной этим семейством псевдометрик топологии.
Сходимость по вероятности Поскольку вероятностное пространство — пространство с (вероятностной) мерой , то сходимость по мере естественным образом переносится на теорию вероятностей с сохранением всех общих свойств: последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине , если: .
Стандартное обозначение: .
Если последовательность случайных величин сходится по вероятности к , то она сходится к и по распределению. Если последовательность случайных величин сходится по вероятности к , то для любой непрерывной функции верно, что . Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности . Теорема Слуцкого позволяет складывать и умножать сходящиеся по вероятности и по распределению функции.
Топологию сходимости по вероятности реализует метрика Цюй Фаня (, 1962): , являющаяся минимальной по отношению к метрике Леви — Прохорова (Штрассен, 1965).
Примечания
Литература
Категория:Функциональный анализ Категория:Сходимость последовательностей функций