Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений. В отличие от интеграла Бернулли интеграл Коши — Лагранжа может применяться к нестационарным течениям, что позволяет применять его к анализу волн на поверхности жидкости.
Варианты названия В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа и интеграл Лагранжа — Коши используются термины интеграл Коши, интеграл ЛагранжаГидромеханика идеальной жидкости. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия, либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (, )
Историческая справка В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Леонардом Эйлером ; русский перевод: ; исторический комментарий:. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости.
Формулировка
Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести Интеграл Коши — Лагранжа может быть введён только для потенциальных течений идеальной жидкости, для которых вектор скорости, , выражается через потенциал скорости, , или, что то же самое, для безвихревых () течений, в которых завихренность тождественно равна нулю: . В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид
где — — давление в жидкости, — её плотность (предполагается постоянной в модели несжимаемой жидкости), — ускорение свободного падения, , , — декартовы координаты (ось направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь — некоторая функция времени, которую можно принять тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости
(при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).
Общий случай В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, (такие течения называются баротропными). В этом случае векторное поле массовой силы (действующей на жидкость объемной силы, отнесённой к единице массы) обязательно будет потенциальным:
где — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости ), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме
См. также Интеграл Бернулли Bernoulli equation for unsteady potential flow
Примечания
Литература
Категория:Гидродинамика Категория:Гидроаэромеханика Коши