Теория Томаса — Ферми (модель Томаса — Ферми) является квантовомеханической теорией электронной структуры системы многих тел, разработана с использованием квазиклассического приближения вскоре после открытия уравнения Шрёдингера Энрико Ферми и Люэлином Томасом. Она основывается не на волновой функции, а формулируется в терминах электронной плотности и рассматривается как предшественник современной теории функционала плотности. Модель Томаса — Ферми правильна только в пределе бесконечного ядерного заряда. Используя это приближение для реальных систем теория даёт плохие количественные предсказания и даже не в состоянии воспроизвести некоторые общие черты, такие как плотность оболочечной структуры атомов и осцилляции Фриделя в твёрдых телах. Она, однако, нашла приложения во многих областях благодаря возможности получать правильное качественное поведение аналитически и лёгкости, с которой она может быть решена. Выражение кинетической энергии в теории Томаса — Ферми также используется в качестве компонента более сложного приближения для плотности кинетической энергии в современных теориях функционала плотности, где можно обойтись без орбиталей.
Кинетическая энергия Для малого элемента объёма ΔV, и для атома в основном состоянии, мы можем заполнить в сферическом пространстве импульсов объём Vf до импульса Ферми pf , и, таким образом,March 1992, p.24
где точка в ΔV.
Соответствующее фазовое пространство имеет объём
Электроны в ΔVph распределены равномерно с двумя электронами в h3 этого объёма фазового пространства, где h постоянная Планка.Parr and Yang 1989, p.47 Тогда число электронов в ΔVph составит
Число электронов в ΔV :
где плотность электронов.
Приравнивая число электронов в ΔV и в ΔVph , получаем
Доля электронов в , чей импульс лежит между импульсами p и p+dp, составит
Используя классическое выражение для кинетической энергии электрона с массой me, кинетической энергии в единице объёма в для электронов атома
где использовалось предыдущее выражение, связывающее и и
Интегрирование кинетической энергии в единице объёма во всём пространстве приводит к полной кинетической энергии электронов:March 1983, p. 5, Eq. 11
Этот результат показывает, что полная кинетическая энергия электронов может быть выражена в терминах только пространственно зависимой плотности электронов согласно модели Томаса-Ферми. Поэтому они смогли рассчитать энергию атома с помощью этого выражения для кинетической энергии в сочетании с классическими выражениями для ядерно-электронных и электрон-электронных взаимодействий (которые могут быть представлены в виде электронной плотности).
Потенциальная энергия Потенциальная энергия электронов атома за счёт электрического притяжения положительно заряженного ядра:
где есть потенциальная энергия электрона в точке , находящегося в электрическом поле ядра. В случае, когда ядро находится в точке (заряд ядра равен Ze, где Z представляет собой натуральное число, e – элементарный заряд):
Потенциальная энергия электронов за счёт их взаимного электрического отталкивания равна
Полная энергия Полная энергия электронов равна сумме их кинетической и потенциальной энергий:March 1983, p. 6, Eq. 15
Примечания
Литература
Категория:Квантовая механика Категория:Объекты, названные в честь Энрико Ферми