По́ле разложе́ния многочлена p над полем — наименьшее расширение поля над которым разлагается в произведение линейных множителей: где
При этом то есть это максимально возможное поле, все элементы где могут быть образованы сложением и умножением элементов поля и чисел как друг с другом, так и между собой. Поэтому о поле разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к всех корней данного многочлена.
Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов — такого расширения L, что каждый pi разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями pi. Поле разложения конечного множества многочленов p1, p2, …, pn, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p1p2…pn.
Поля разложения являются нормальными расширениями. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.
Свойства
Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля . Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена pi и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.
Примеры
Если степень многочлена не превосходит , то . Поле комплексных чисел служит полем разложения многочлена над полем вещественных чисел. Любое конечное поле , где , есть поле разложения многочлена над простым подполем .
Литература
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975 Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963 Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
Категория:Многочлены Категория:Теория полей