Преде́л — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции.
Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
История
Обоснование термина Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходомХинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.— Л., Гостехиздат, 1948. — С. 14. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось ещё учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
С помощью теории пределов в первой половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функцийЦыпкин А. Г. Справочник по математике. — М.: «Наука», 1983..
Символ предела Общепринятый символ предела был предложен Симоном Люилье (1787 год) в следующем формате: это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после вскоре исчезла — С. 172.. Близкое к современному обозначение предела ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства: . Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков.
Обозначения для одностороннего предела вида первым предложил Дирихле (1837) в виде: Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде: и соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения: введенные Альфредом Прингсхаймом в 1898 году.
Предел последовательности
Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом порядкового номера.
Число называется пределом последовательности , если
.
т.е. для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такой номер N (зависящий от ε), что для всех членов последовательности с номерами n > N расстояние между xn и a будет меньше ε. — квантор всеобщности; — квантор существования.
Предел последовательности обозначается . Допускается обозначение .
Свойства:
Если предел последовательности существует, то он единственный.
(если оба предела существуют)
(если оба предела существуют) (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль) Если и , то (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)
Предел функции
Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .
Число b называется пределом функции в точке , если существует , такое что выполняется .
Для пределов функций справедливы свойства, аналогичные пределам последовательностей, например, — предел суммы равен сумме пределов, если все пределы существуют.
Понятие предела последовательности на языке окрестностей Пусть — некоторое множество, на котором определено понятие окрестности (например, метрическое пространство). Пусть — последовательность точек (элементов) этого множества. Говорят, что есть предел этой последовательности, если вне любой окрестности точки лежит конечное число членов последовательности, или
Замечательные пределы
Замечательные пределы — термины, использующиеся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Замечательные пределы и их следствия используются при раскрытии неопределённостей для нахождения других пределов.
Вариации и обобщения
Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности метрических пространств и последовательности функций на них. Эта конструкция часто используется, чтобы избежать многократного перехода к подпоследовательности. Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.
См. также Частичный предел Фундаментальная последовательность Ряд Неопределённости пределов Сравнение бесконечно малых величин Последовательность Список пределов
Примечания
Литература
Категория:Математический анализ Категория:Общая топология