Критерий ФридманаКобзарь А. И. («Прикладная математическая статистика») называет этот критерий критерием Фридмена-Кендалла-Бэбингтона Смита () — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления условий измерения () для объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.
Задача Дана выборка из измерений для каждого из испытуемых, которую можно представить в виде таблицы: Условия № объекта
В качестве нулевой гипотезы рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия». Выбирается уровень значимости , например, (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).
Проверка гипотезы Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги объекта при ранжировке :
Ранги № объекта
Получим суммы рангов и введём другие обозначения:
Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:
,
которую можно записать также в виде:
Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:
Для малых значений и для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости (или доверительной вероятности ).
При и применима аппроксимация — -квантиль распределения хи-квадрат с степенями свободы:
Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации -квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта.
Примеры Классические примеры применения: дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия? Сварные швы, сделанные сварщиками с использованием сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?
Апостериорный анализ Апостериорный анализ () был предложен Шайхом и Хамерли (1984)Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berlin: Springer. ISBN 3-540-13776-9., а также Коновер (1971, 1980)Conover, W. J. (1971, 1980). Practical nonparametric statistics. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3. для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних ранговBortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-67590-6..
Программная реализация Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R и других).
Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS и R.
Примечания
Литература
Категория:Непараметрические статистические критерии