Простое число Эйзенштейна — число Эйзенштейна:
,
являющееся неприводимым (или, эквивалентно, простым) элементом Z[ω] в смысле теории колец.
Умножение на обратимый элемент и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.
Целое число Эйзенштейна является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий: является произведением обратимого элемента на натуральное простое вида , является натуральным простым, сравнимым с 0 (то есть равным 3) или 1 по модулю 3. Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым : 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101 ().
Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z[ω]. Примеры:
.
Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными: .
С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, — это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по абсолютному значению 7.
По состоянию наибольшим известным действительным простым числом Эйзенштейна является 10223 × 231172165 + 1, открытое проектом PrimeGridChris Caldwell, «The Top Twenty: Largest Known Primes » from The Prime Pages. Retrieved 2017-03-14..
Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна и были найдены с помощью GIMPS. Действительные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.
См. также Гауссовы целые числа
Ссылки
Эйзенштейн Категория:Алгебраическая теория чисел