Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям.
Полная линейная группа векторного пространства — это группа обратимых линейных операторов вида . Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.
Обычно обозначается .
Полная линейная группа порядка — это группа обратимых матриц порядка (то есть квадратных матриц с строками и столбцами)Платонов В. П. Полная линейная группа // Матем. энциклопедия. Т. 4. — : Сов. энциклопедия, 1984. — Стб. 416—417.. Роль групповой операции играет обычное умножение матриц.
Обычно обозначается Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. геометрические главы. — : Наука, 1977. — С. 268—271.. Если требуется явно указать, какому полю (или, в более общем случае, коммутативному кольцу с единицей) должны принадлежать элементы матрицы, то пишут: или .
Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами, полная линейная группа порядка обозначается , а если над комплексными числами, то .
Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве (то есть пространстве n-мерных столбцов с элементами из ). Поэтому и .
Во-вторых, введение базиса в n-мерном векторном пространстве над полем скаляров позволяет взаимно однозначно сопоставить линейному оператору его матрицу — квадратную матрицу порядка из компонент оператора в этом базисе. При этом обратимому оператору будет отвечать невырожденная матрица, и мы получаем взаимно однозначное соответствие между группами и (это соответствие в действительности является изоморфизмом данных групп).
Свойства
Если — векторное пространство над полем скаляров , то полная линейная группа пространства представляет собой группу всех автоморфизмов пространства . Группу и её подгруппы называют линейными группами.
В полной линейной группе можно выделить подгруппу , состоящую из всех матриц с определителем, равным 1. Это — специальная линейная группа порядка , обозначаемая .
Другие важные подгруппы группы : Диагональная группа — группа , состоящая из всех диагональных матриц порядка ; Треугольная группа — группа , состоящая из невырожденных верхних треугольных матриц порядка (то есть матриц, у которых все элементы под главной диагональю нулевые); Унитреугольная группа — группа , состоящая из тех верхних треугольных матриц порядка , у которых диагональные элементы равны 1.
Группу и её подгруппы часто называют матричными группами (заметьте, что их можно именовать и линейными группами, а вот группа — линейная, но не матричная).
В частности, подгруппами группы являются специальная линейная группа , ортогональная группа , специальная ортогональная группа и др.
Подгруппами группы являются специальная линейная группа , унитарная группа , специальная унитарная группа порядка n и др.
Полные линейные группы и (как и перечисленные в двух предыдущих абзацах их основные подгруппы) являютсяДубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — : Наука, 1986. — С. 420. группами Ли. Эти группы важны в теории представлений групп; возникают они и при изучении различного рода симметрий.
Заметим ещё, что при n = 1 группа фактически сводится к группе ненулевых скаляров поля (обе группы канонически изоморфны) и поэтому является абелевой (коммутативной). При n, большем 1, группы абелевыми не являются.
Примечания
Литература
См. также Проективная группа
Категория:Теория групп Категория:Линейная алгебра Категория:Группы Ли