Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.
Определение Случайный процесс , где называется винеровским процессом, если почти достоверно. — процесс с независимыми приращениями. , ,
где — нормальное распределение со средним и дисперсией . Величину , постоянную для процесса, далее будем считать равной .
Эквивалентное определение: — гауссовский процесс. , . , .
Непрерывность траекторий Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.
Свойства винеровского процесса — гауссовский процесс. — марковский процесс. . Соответственно и . . и — мартингалы. Здесь под мартингалом мы понимаем Если — винеровский процесс, то и , также будет винеровским.
Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если — винеровский процесс, и , то
также является винеровским процессом.
Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией. Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум. Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное. Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма.
почти наверное.
Многомерный винеровский процесс Многомерный (-мерный) винеровский процесс — это -значный случайный процесс, составленный из независимых одномерных винеровских процессов, то есть , где процессы совместно независимы.
Связь с физическими процессами Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.
Ссылки Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
См. также Сосиска Винера Норберт Винер Формула Фейнмана — Каца Цвета шума
Категория:Случайные процессы Категория:Марковские процессы Категория:Теория хаоса