Осциллятор Ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием. Математически моделируется следующим уравнением: , где — координата точки, зависящая от времени ; — коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний.
История Осциллятор был предложен нидерландским инженером и физиком Балтазаром ван дер Полем во время его работы в компании PhilipsCartwright, M.L., «Balthazar van der Pol» , J. London Math. Soc., 35, 367—376, (1960).. Ван дер Полем были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационнымиVan der Pol, B., «On relaxation-oscillations», The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978—992 (1927)., известные как «предельные циклы». В сентябре 1927 года ван дер Пол и его коллега ван дер Марк сообщилиVan der Pol, B. and Van der Mark, J., «Frequency demultiplication», Nature, 120, 363—364, (1927)., что на определённых частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаосаKanamaru, T., «Van der Pol oscillator» , Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007)..
Уравнение Ван дер Поля применяется и в физике, и в биологии; на его основе в биологии создана модель ФитцХью — Нагумо. Данное уравнение также было использовано в сейсмологии для моделирования геологических разломов Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. and Piro, O., «Dynamics of elastic excitable media», Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9, 2197—2202, (1999)..
Двумерный случай С помощью теоремы Льенара можно доказать, что система имеет предельный цикл. Из данной теоремы следует, что . Отсюда можно вывести уравнения осциллятора Ван дер Поля для двумерного случаяKaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240—244, (1995): . Можно также совершить другую замену и получить .
Осциллятор со свободными колебаниями У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при и при . Очевидно, что третьего режима — — не существует, так как затухание в системе не может быть отрицательным. 1) Когда , то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду . Это уравнение гармонического осциллятора.
2) При система имеет некие предельные циклы. Чем дальше от нуля, тем колебания осциллятора менее похожи на гармонические.
Вынужденные колебания Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле , где — амплитуда внешнего гармонического сигнала, — его угловая частота.
Галерея
Примечания
См. также Осциллятор Дуффинга Цепь Чуа Теория хаоса
Ссылки Примеры фазовых портретов осциллятора.
Категория:Хаотические отображения Категория:Дифференциальные уравнения