Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.
Окружность, вписанная в угол Пусть окружность с центром O вписана в угол A, то есть лежит внутри этого угла и касается его сторон в некоторых точках B и C.
Поскольку OB и OС - радиусы, проведённые к точкам касания, они равны и являются перпендикулярами, опущенными из точки O к соответствующим сторонам. Отсюда следует: Радиус окружности, вписанной в угол, равен расстоянию от её центра до любой из сторон угла; Центр вписанной в угол окружности равноудалён от сторон угла на расстояние радиуса; Образующиеся треугольники и прямоугольны и равны (по общей гипотенузе OA, и равным катетам OC и OB).
Из равенства этих треугольников следует, что: Отрезки касательных равны: ; Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе: .
Из прямоугольности треугольников также следует, что Угол, в который может быть вписана окружность, должен быть меньше 180 градусов ().
Через радиус и угол выражаются: Расстояние от вершины угла до центра окружности: ; Отрезки касательных: .
Помимо обычной тригонометрии, в данной ситуации также бывает полезной следующая формула, связывающая величину угла , величину центрального угла между точками касания , радиус и отрезок касательной : , , где - мнимая единица.
Замечание. При использовании в геометрии комплексных чисел следует иметь в виду, что во всех формулах комплексного анализа углы всегда считаются ориентированными, а в геометрии - обычно нет, что иногда приводит к недоразумениям. Указанная выше формула применима к ориентированному углу , только если . В противном случае в формуле следует заменить на .
Чтобы вписать окружность в заданный угол, нужно в качестве центра (если он не задан) выбрать любую точку на биссектрисе этого угла и опустить из неё перпендикуляры на стороны. В качестве радиуса окружности следует взять длину любого из полученных перпендикуляров. Если центр не задан, вписываемая окружность не единственна.
Окружность, вписанная в многоугольник общего вида Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае окружность обязательно находится внутри многоугольника. В ситуации, когда окружность касается всех прямых, содержащих стороны, но не самих сторон, окружность находится вне многоугольника и называется вневписанной в него. Многие свойства вписанных и вневписанных окружностей перекликаются между собой, если не совпадают полностью.
Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным около этой окружности, или, кратко - описанным.
Чтобы построить произвольный описанный n-угольник, нужно нарисовать окружность, выбрать на ней произвольно n точек, в каждой из которых провести касательную (прямую, перпендикулярную радиусу, проведённому к этой точке). Отрезки касательных, заключённые между их пересечениями с соседними касательными с каждой стороны, составят контур n-угольника, описанного около исходной окружности.
Одним из примеров n-угольника для любого n, в который можно вписать окружность, является правильный многоугольник, когда точки на окружности выбираются равномерно.
Условия существования вписанной окружности в многоугольник Если в данный многоугольник можно вписать окружность, она будет вписана в каждый внутренний угол этого многоугольника (см. Окружность, вписанная в угол), значит, каждый внутренний угол должен быть меньше 180 градусов, что влечёт за собой выпуклость многоугольника.
Вопрос о существовании вписанной окружности в многоугольник равносилен вопросу о существовании точки, равноудалённой от всех его сторон. Такая точка, если есть, будет центром вписанной окружности, а расстояние от неё до сторон - радиусом. Поскольку окружность вписанная в многоугольник, вписана в каждый его внутренний угол, то центр окружности находится на биссектрисах всех углов этого многоугольника (то есть, на их пересечении). Верно и обратное: общая точка всех биссектрис (если она есть) равноудалена от сторон многоугольника и является центром вписанной в него окружности.
Вследствие этого, критерий существования вписанной окружности таков: в многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда все его биссектрисы пересекаются в одной точке. (Очевидно, для этого достаточно, чтобы для любых трёх последовательных углов этого многоугольника их биссектрисы пересекались в одной точке.)
Поскольку у биссектрис не может быть более одной общей точки, это означает, что вписанная в многоугольник окружность, если есть, может быть только одна. Соответственно, точек, равноудалённых от всех сторон многоугольника тоже может быть не более одной.
Только в треугольники всегда может быть вписана окружность, независимо от их конкретного вида. Для 4-угольников это уже не так: например, чтобы в прямоугольник можно было вписать окружность, он обязан быть квадратом. Вообще, чтобы в 4-угольник можно было вписать окружность, в нём необходимо и достаточно выполнение одного соотношения: суммы длин противоположных сторон должны совпадать. Для n-угольников число таких независимых соотношений, обеспечивающих его описанность, возрастает до n-3.
Площадь описанного многоугольника и формула радиуса Отрезки, соединяющие центр описанного n-угольника с его вершинами, разбивают его на n треугольников, каждый из которых содержит ровно одну сторону исходного многоугольника, вершина, лежащая напротив, является центром вписанной окружности, а высота, опущенная из неё к этой стороне, совпадает с радиусом вписанной окружности. Поэтому площадь k-ого треугольника будет равна: , а общая площадь, соответственно составит , , где - полупериметр (половина периметра) многоугольника.
Следствие 1. Радиус вписанной окружности равен отношению площади многоугольника к полупериметру : .
Следствие 2. С помощью предельного перехода получается одно из наиболее важных следствий этой формулы - формула площади круга: . Для её получения нужно описанный многоугольник равномерно обрезать по касательным к окружности бесконечно много раз. Тогда его площадь будет стремиться к площади круга, а полупериметр - к полупериметру круга .
Формулу площади можно слегка обобщить:
Любые два луча из центра описанной окружности вырезают из описанного многоугольника фигуру, площадь которой равна , где - длина той части контура исходного многоугольника, которая заключена между этими лучами.
Таким образом, чтобы разрезать описанный многоугольник на m равных по площади частей, достаточно его периметр поделить m точками на равные по длине части и их соединить радиусами с центром вписанной окружности.
Задание описанного многоугольника длинами сторон Основной вопрос этой темы: каким условиям должны удовлетворять числа , чтобы существовал описанный многоугольник с такими длинами сторон, и насколько однозначно восстановление описанного многоугольника по длинам сторон?
Необходимое условие для существования очевидно. Если требуемый многоугольник существует, то должно быть
где - отрезки касательных, проведённых из вершин к вписанной окружности. Поэтому эта система с заданными параметрами должна иметь решение в положительных числах . На самом деле, это условие не только необходимо, но и достаточно для существования описанного многоугольника с заданными длинами сторон.
Случай нечётного n. В случае нечётного числа сторон n линейная система не вырождена и имеет единственное решение:
Поэтому для разрешимости системы в положительных числах необходимо наложить условие, чтобы все альтернированные суммы в правых частях этих равенств были бы положительными.
Например, для описанного треугольника с требуемыми сторонами все эти условия превращаются просто в неравенство треугольника: .
Таким образом, в случае нечётного числа сторон, описанный n-угольник с заданными сторонами существует и единствен (с точностью до равенства), если только все указанные выше альтернированные суммы сторон положительны.
Случай чётного n. В случае чётного числа сторон n линейная система вырождена, уравнения линейно зависимы, и для разрешимости в числах любого знака требуется одно линейное соотношение - полная альтернированная сумма длин всех сторон должна быть равна нулю: . При этом сами числа однозначно найти нельзя, однако можно найти их суммы , если k и m разной чётности:
В случае чётного числа сторон, описанный n-угольник с заданными сторонами существует, если полная альтернированная сумма длин всех сторон равна нулю, а все указанные выше неполные альтернированные суммы сторон положительны. При этом описанный n-угольник с требуемыми сторонами не будет единственным, для него останется одна степень свободы.
Таким образом, задание описанного многоугольника длинами сторон, когда их количество чётно, не является удовлетворительным.
Задание описанного многоугольника отрезками касательных
В отличие от задания описанного много угольника длинами сторон, задание с помощью отрезков касательных гораздо эффективнее и удобнее. Основной результат состоит в том, что:
При любых положительных значениях всегда существует и единствен (с точностью до равенства) описанный n-угольник, для которого эти числа являются длинами отрезков касательных в указанном порядке.
Для радиуса есть также и алгебраическая формула его зависимости от отрезков касательных. В самом деле, если - центральные углы между соседними точками касания. Тогда для каждого k=1,2,...,n .
Перемножая эти равенства, получается:
.
Радиус вписанной окружности - это наибольший положительный корень этого уравнения. (Остальные положительные корни отвечают за сумму центральных углов равную и т.д. Им соответствуют не описанные многоугольники, а замкнутые звёздчатые самопересекающиеся ломаные, описанные около окружности, контур которых охватывает центр окружности несколько раз.)
Примеры. При n=3 после упрощений получается уравнение , откуда
, что даёт формулу Герона для площади треугольника.
При n=4 после упрощений получается уравнение , откуда, учитывая что радиус не равен 0, имеем
.
В треугольнике
Свойства вписанной окружности: В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус вписанной в треугольник окружности равен:
Радиус описанной вокруг треугольника окружности равен:
где — стороны треугольника, — высоты, проведённые к соответствующим сторонам;
где — площадь треугольника, а — его полупериметр. , — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов). Если — основание равнобедренного треугольника , то окружность, касающаяся сторон угла в точках и , проходит через центр вписанной окружности треугольника . Теорема Эйлера: , где — радиус описанной вокруг треугольника окружности, — радиус вписанной в него окружности, — центр описанной окружности, — центр вписанной окружности.
Если прямая, проходящая через точку параллельно стороне , пересекает стороны и в точках и , то . Если точки касания вписанной в треугольник окружности соединить отрезками с его сторонами, то получится треугольник со свойствами: Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T1 Пусть T2 — ортотреугольник T1. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T. Пусть T3 — серединный треугольник T1. Тогда биссектрисы T являются высотами T3. Пусть T4 — ортотреугольник T3, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T4. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен . Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно . Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно , где — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C. Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам и