Аксиома Па́ша — одна из аксиом порядка в системе аксиом Гильберта евклидовой геометрии; является аксиомой абсолютной геометрии. Утверждает, что прямая, пересекающая сторону треугольника, обязательно пересекает и одну из двух других его сторон. В других системах аксиом является теоремой.
Аксиома впервые сформулирована Морицем ПашемPasch M., Vorlesungen über neuere Geometrie, Lpz., 1882. В его книге «Лекции по новой геометрии», опубликованной в Лейпциге в 1882 году, были впервые сформулированы аксиомы порядка, в дальнейшем существенно переработанные и упрощённые Д. Гильбертом.
Формулировка Формулировка аксиомы использует понятие «лежать внутри отрезка», причём отрезок здесь рассматривается как система двух различных точек и , принадлежащих одной прямой; точки, лежащие «между» точками и , называются точками отрезка (или внутренними точками отрезка). Понятие «между» (лежать между) описывается группой аксиом порядка, куда входит и аксиома Паша, которая формулируется следующим образом: Пусть , , — три точки, не лежащие на одной прямой, и — прямая в плоскости этих трёх точек, не проходящая ни через одну из точек , , ; если при этом прямая проходит через одну из точек отрезка , то она должна пройти через одну из точек отрезка или через одну из точек отрезка .
Замечания
Аксиому можно сформулировать и для трёх различных точек, принадлежащих одной прямой (коллинеарных). Тогда они образуют также три отрезка и если некоторая прямая пересечёт один отрезок, то она пересечёт ещё один.
С помощью других гильбертовых аксиом порядка можно доказать, что прямая не может пересечь оба отрезка и .
См. также Теорема Паша Аксиомы Пеано
Примечания
Литература Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., Л., «Сеятель», 1923.
Категория:Основания геометрии