В теории чисел простым числом Вифериха называется простое число , такое, что делит , что является усилением утверждения малой теоремы Ферма, утверждающей, что любое нечетное простое делит . Эти простые числа впервые описаны Артуром Виферихом (Arthur Wieferich) в 1909 г. в работе, относящейся к великой теореме Ферма. К тому времени обе теоремы Ферма были хорошо известны математикам.
С тех пор были обнаружены связи между простыми числами Вифериха и различными другими объектами математики, в том числе и другими типами простых чисел (числа Мерсенна и Ферма), особыми типами псевдопростых чисел и некоторыми обобщениями самих простых чисел Вифериха. Со временем открытые связи были распространены на некоторые другие свойства простых чисел, а также на общие объекты, такие как числовое поле и abc-гипотеза.
Несмотря на многочисленные попытки широкого поиска, известны только два простых числа Вифериха – это и ().
Объяснение свойств простых чисел Вифериха
Усиленный вариант малой теоремой Ферма, которой удовлетворяют простые числа Вифериха, обычно выражается в виде сравнения по модулю . Из определения сравнения следует, что это свойство эквивалентно определению, данному в начале статьи. Таким образом, если простое p удовлетворяет сравнению, это простое делит частное Ферма .
Приведём два примера:
Для p = 11 мы получаем , что дает число 93, имеющее остаток от деления на 11, равный 5. Таким образом, 11 не является простым числом Вифериха.
Для p = 1093, мы получаем или 485439490310...852893958515 (302 цифры в середине опущены) и это число дает остаток 0 при делении на 1093, так что 1093 является простым числом Вифериха.
История и состояние поиска
В 1902-м году Майер (W. F. Meyer) доказал теорему о решении сравнения . Позже, в то же десятилетие, Артур Виферих показал, что если первый случай великой теоремы Ферма имеет решение для нечётной простой степени, то это простое должно удовлетворять сравнению для и . Другими словами, если существует решение в целых и – нечетное простое, не делящее (), то удовлетворяет . В 1913-м году Бахман (Paul Gustav Heinrich Bachmann) исследовал остаток . Он поставил вопрос — когда этот остаток превращается в ноль, и попытался найти формулы для ответа на поставленный вопрос.
В 1913-м году Вальдемар Майснер (Waldemar Meissner) обнаружил, что простое число 1093 является простым Вифериха. Он же показал, что это единственное простое меньшее 2000. Он вычислил наименьший остаток для всех простых и обнаружил, что этот остаток равен нулю для и , тем самым нашёл контрпример гипотезе Граве (Grawe) о невозможности сравнения Вифериха.
Позднее Хентцшель (E. Haentzschel) потребовал перепроверки правильности вычислений Майснера с использованием только элементарных операций. Вдохновлённый ранней работой Эйлера, он упростил доказательство Майснера, показав, что , и заметил, что является делителем . Было также показано, что можно проверить, является ли 1093 простым числом Майснера, не используя комплексных чисел в противоположность методу, использованному Майснером, хотя сам Майснер давал понять, что он знает о возможности такого доказательства.
В 1922-м году Н. Г. В. Х. Бегер (N. G. W. H. Beeger) обнаружил, что простое число 3511 является простым числом Вифериха. Другое доказательство принадлежности 3511 к простым числам Вифериха было опубликовано в 1965-м Гаем (Richard K. Guy). В 1960-м году Кравиц (Kravitz) удвоил рекорд проверенных чисел, которое до этого установил Фрёберг (Fröberg) В 1961-м году Ризель (Riesel) расширил поиск до 500000 с помощью BESK. Около 1980-го Лемер (Lehmer) смог достичь предела 6. Этот предел поиска был сдвинут к 2.5 в 2006-м, а затем и 3. Сейчас известно, что если существуют какие-либо другие простые числа Вифериха, они должны быть не меньше 6.7. Поиск новых простых чисел Вифериха в настоящее время осуществляется в проекте распределённых вычислений Wieferich@Home. В декабре 2011 года стартовал ещё один проект – PrimeGridPrimeGrid Announcement of Wieferich and Wall-Sun-Sun searches . К октябрю 2014 года достиг предела поиска 3, и поиск продолжаетсяPrimeGrid Wieferich prime search server statistics .
Крис Колдуэлл (Chris Caldwell) предположил, что существует конечное число простых чисел Вифериха. Было высказана также противоположная гипотеза, что (как и для простых Вильсона) существует бесконечно много простых чисел Вифериха, и что число простых Вифериха, меньших , оценивается значением , что является эвристическим результатом, следующим из правдоподобного предположения, что для простого -тая степень корня из единицы по модулю равномерно распределена на мультипликативной группе целых чисел по модулю .
Свойства
Связь с великой теоремой Ферма
Следующая теорема, доказанная Виферихом в 1909-м, связывает простые числа Вифериха и великую теорему Ферма:
Пусть – простое, и пусть – целые числа, такие, что . Предположим далее, что не делит произведение . Тогда – простое число Вифериха.
Условие «где не делит любое из или » известно как первый случай великой теоремы Ферма (FLTI). FLTI неверна для простого , если решение уравнения Ферма существует для , в противном случае FLTI для выполняется. В 1910-м году Мириманов расширил теорему, показав, что, если условия теоремы выполняются для некоторого простого , то должно также делить . Позднее Гранвиль (Granville) и Монаган (Monagan) доказали, что должно делить для любого простого . Судзуки (Suzuki) распространил доказательство на все простые .
Пусть – множество пар целых и их наибольший общий делитель равен 1.
Пусть , является расширением поля, получаемого включением всех многочленов от алгебраического числа в поле рациональных числ (такое расширение известно как числовое поле или, в данном случае, где ξ — корни из единицы, круговым числовым полем).
Пусть – множество пар , удовлетворяющих свойствам: i НОД ii — взаимно просто с и iii iv – -ая степень идеала .
Из единственности факторизации идеалов в следует, что если являются решением (первого случая) великой теоремы Ферма, то делит , а и являются элементами . Гранвиль (Granville) и Монаган (Monagan) показали, что тогда и только тогда, когда является простым числом Вифериха.
Связь с abc-гипотезой и простыми числами не-Вифериха
Простое число не-Вифериха – это простое , удовлетворяющее условию . Д.Х. Силвермен (Joseph H. Silverman) в 1988-м году показал, что если abc-гипотеза верна, то существует бесконечно много простых не-Вифериха.Charles, D. X. On Wieferich primes
Говоря точнее, он показал, что из верности abc-гипотезы следует, что количество простых не-Вифериха для больше для некоторой константы .
Множество простых чисел Вифериха и множество простых не-Вифериха, иногда обозначаемые как и соответственно, являются дополнительными множествами, так что конечность одного из них влечет бесконечность другого (поскольку вместе они дают множество простых чисел). Было показано, что существование бесконечного количества чисел не-Вифериха следует из ослабленной версии abc-гипотезы, называемой ABC-(k, ε) гипотезой.
Вдобавок существование бесконечного количества чисел не-Вифериха вытекает также из существования бесконечного количества свободных от квадратов чисел Мерсенна.
Это же вытекает из существования вещественного , такого, что множество имеет плотность 1. Здесь индекс сложности для целого определяется как и , где — произведение всех простых множителей n.
Связь с простыми числами Мерсенна и Ферма
Известно, что -ое число Мерсенна является простым, только если – простое. Из малой теоремы Ферма следует, что, если является простым, делится на . Поскольку числа Мерсенна с простыми индексами и взаимно просты, простой делитель числа , где – простое, является простым числом Вифериха тогда и только тогда, когда делит .
Таким образом, простое число Мерсенна не может быть также простым Вифериха.
Интересная проблема остается нерешенной: все ли числа Мерсенна с простым индексом свободны от квадратов. Если число Мерсенна не свободно от квадратов, то существует простое , для которого делит , что означает, что – простое число Вифериха. Таким образом, если простых чисел Вифериха конечное число, то должно быть по меньшей мере конечное число не свободных от квадратов чисел Мерсенна. Роткевич (Rotkiewicz) показал, что обратное тоже верно, то есть, если имеется бесконечно много свободных от квадратов чисел Мерсенна, то и простых чисел не-Вифериха тоже бесконечно много.
Подобным образом, если – простое, и делит число Ферма , то должно быть простым числом Вифериха.
Для простых было показано, что ни одно из них не является делителем какого-либо числа Мерсенна или Ферма.
Связь с другими равенствами
Скотт (Scott) и Стайер (Styer) показали, что равенство имеет максимум одно решение в положительных целых , если при или , где означает мультипликативный порядок числа 2 по модулю .
Они также показали, что решения уравнения должны принадлежать определённому множеству, но утверждение перестает быть верным, если – простое число Вифериха, большее .
Бинарная периодичность p−1
Джонсон (Johnson) заметил, что два известных простых числа Вифериха на единицу больше чисел с периодическим двоичным представлением (). Проект Wieferich@Home ищет простые числа Вифериха путём проверки чисел, на единицу больших чисел с периодическим двоичным представлением, но среди чисел длиной до 3500 бит и периодом до 24 бит не было найдено ни одного нового простого числа Вифериха.
Эквивалентные сравнения
Простые числа Вифериха могут быть определены другим сравнением, эквивалентным тому, которое обычно используют.
Если простое число Вифериха, можно умножить обе части сравнения на 2 и получим . Возведя обе части сравнения в степень , получим , откуда для всех .
Обратное тоже верно: Из для всех следует, что мультипликативный порядок числа 2 по модулю делит НОД, где -функция Эйлера, так что, и число является простым Вифериха.
Бояи показал, что если и просты, – положительное целое, не делящееся на и , такое, что , то . Полагая , получим . А в силу теоремы Эйлера равносильно .
Связь с псевдопростыми числами
Было замечено, что оба известных простых числа Вифериха делят все несвободные от квадратов по базе 2 псевдопростые числа до . Более поздние вычисления показали, что повторяющимися множителями псевдопростых чисел до являются только 1093 и 3511.
Существует следующая связь: Пусть — псевдопростое по базису 2 и — простой делитель . Если , то .
Далее, если — простое число Вифериха, то псевдопростое Каталана (Catalan).
Связь с ориентированными графами
Для всех простых до 100000 только в двух случаях: и , где – модуль диаграммы удваивания и дает число вершин в цикле, образованном единицей. Термин диаграмма удваивания относится к ориентированному графу с 0 и натуральными числами, меньшими в качестве вершин и дугами, идущими из вершины в вершину по модулю . Было установлено, что для всех нечетных простых чисел либо , либо .
Свойства, связанные с числовыми полями
Было установлено, что и тогда и только тогда, когда , где – нечетное простое и — фундаментальный дискриминант комплексного квадратичного поля .
Также было показано следующее:
Пусть – простое число Вифериха. Если , пусть — фундаментальный дискриминант комплексного квадратичного поля
Если , пусть — фундаментальный дискриминант комплексного квадратичного поля .
Тогда и ( и в этом контексте означают инвариант Ивасава (Iwasawa)).
Также было установлено:
Пусть – нечетное простое число, и – простые, такие, что и порядок по модулю равен .
Предположим, что делит — число классов вещественного кругового поля , полученного добавлением к полю рациональных чисел суммы -го корня из единицы и обратного к нему элемента.
Тогда – простое число Вифериха.
Это остается верным, если условия заменить на
Утверждение остается верным и при замене условия на (в этом случае будет простым числом Фибоначи-Вифериха), а неравенство заменится на .
Периоды простых чисел Вифериха