Эвольве́нта (от , родительный падеж evolventis «разворачивающий»), или инволю́та, или развёртка, плоской кривой — это плоская кривая , по отношению к которой является эволютой.
То есть эвольвента — кривая, нормаль в каждой точке которой есть касательная к исходной кривой, иными словами, эвольвента — ортогональная траектория касательных к исходной кривой.
Эвольвента плоской кривой также может быть определена следующим образом: эвольвента — траектория конца натянутой нити, которая либо наматывается на исходную кривую, либо разматывается с неё (этим объясняется другое название эвольвенты «развёртка»).
Последнее определение эвольвенты проясняет следующие свойства эвольвенты: касательная в произвольной точке исходной кривой есть нормаль в соответствующей точке эвольвенты; всякая ортогональная траектория касательных к исходной кривой есть эвольвента; разность радиусов кривизны в двух точках эвольвенты равна длине дуги между соответствующими точками исходной кривой.
У каждой кривой бесконечно много эвольвент, которые параллельны друг другу.
Уравнения эвольвенты Если линия задана уравнением (где — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид , где — произвольный параметр.
Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты
Примеры эвольвенты Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её параметрические уравнения имеют следующий вид:
на комплексной плоскости уравнения упрощаются:
где — угол, a — радиус
Применения В технике эвольвенту окружности используют: как профиль зуба для колёс зубчатой передачи с эвольвентным зацеплением; в спиральных вакуумных насосах.
См. также
Каустика
Примечания
Литература
Категория:Кривые