Теоре́ма об измене́нии коли́чества движе́ния (и́мпульса) систе́мы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.
Формулировка теоремы Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.
Теорема об изменении количества движения системы утверждает:
Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к внешним силам необходимо добавлять переносные и кориолисовы силы инерцииЖирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260.
Доказательство Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида: Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим . Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать , а силу воздействия i-й точки на k-ю точку — . Очевидно, что если , то
Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде
Учитывая, что , и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:
Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать
Используя для количества движения системы обозначение , получим
Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:
Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
где и — значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а — импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями, выполняется
Закон сохранения количества движения системы
Из теоремы об изменении количества движения системы следует, что в отсутствие внешних сил (замкнутая система), а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю выполняется и . Иначе говоря, справедливо соотношение
Таким образом, следует вывод:
Данное утверждение составляет содержание закона сохранения количества движения системы.
Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. Тогда равно нулю и изменение проекции количества движения системы на это направление, то есть, как говорят, сохраняется количество движения в этом направлении.
Случай системы с идеальными стационарными связями
В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.
Теорема об изменении количества движения системы с идеальными стационарными связями утверждает:
«Активные» применительно к силам (ниже они помечены символом в формулах) означает «не являющиеся реакциями связей».
Действительно, по условию, в любой момент все точки системы допускают смещение на параллельно неподвижной оси . Заменяя в общем уравнении динамики на , получаем:
или
или
окончательно находим:
В предпоследнем уравнении в сумму активных сил включены внешние активные и внутренние активные силы. Однако геометрическая сумма внутренних активных сил, как попарно равных и противоположных, равна нулю, поэтому в окончательном уравнении представлены только внешние (введён добавочный значок от ) активные силы.
История О законе сохранения количества движения Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году, писал: «Количество движения, получаемое беря сумму количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою». Комментатор, в связи с этой формулировкой, отмечает, что, хотя в ней рассматривается только случай движения тел по одной прямой, И. Ньютон, как показывают его другие высказывания в той же книге, в своих воззрениях этим частным случаем не ограничивался.
См. также Теорема о движении центра масс системы Теорема о кинетической энергии системы Теорема об изменении кинетического момента системы
Примечания
Категория:Законы классической механики Изменение количества движения системы Категория:Динамика Категория:Теоретическая механика