Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело на квадрат каждого своего простого делителя.
Эквивалентное определение: число, представимое в виде , где и — натуральные числа.
Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, а название дано Соломоном Голомбом.
Список полнократных чисел между 1 и 1000: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.
Эквивалентность двух определений Если , то любой простой множитель в разложении входит с показателем не менее 2, а входящий в разложении — с показателем не менее 3 раз. Следовательно, любой простой множитель в разложении входит с показателем не менее 2.
С другой стороны, пусть — полнократное число с разложением , где каждое . Положим равным 3, если нечётно, и 0 в противном случае, и определим . Тогда все значения являются неотрицательными чётными целыми, и все значения либо равны нулю, либо трём, так что:
даёт искомое представление , как произведение квадрата и куба.
Иными словами, для данного разложения числа в качестве можно взять произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными показателями (если таких нет, то 1). Поскольку — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что является целым. Теперь каждый простой множитель имеет чётную степень, так что — полный квадрат, обозначим его как ; и получается . Например: , , , .
Математические свойства Сумма чисел, обратных полнократным, сходится: ,
где — пробегает все простые числа, — дзета-функция Римана, и — постоянная Апери (Голомб, 1970).
Пусть означает количество полнократных чисел, не превосходящих x. Тогда асимптотически пропорционально квадратному корню из . Точнее:
.
Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля имеет бесконечно много решений, существует и бесконечно много пар последовательных полнократных чисел. Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, для любого куба . Однако одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли много пар полнократных чисел, аналогичных , в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что имеет бесконечно много решений.
Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша, не существует трёх последовательных полнократных чисел.
Суммы и разности полнократных чисел Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов: . Таким же образом, любое число кратное четырём представимо в виде разности квадратов двух чисел, отличающихся на два: . Однако число, делящееся на 2, но не на 4, нельзя представить в виде разности квадратов. В связи с этим возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.
Голомб дал несколько таких представлений: 2 = 33 − 52 10 = 133 − 37 18 = 192 − 73 = 32(33 − 52).
Изначально была высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что существует бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например
6 = 5473 − 4632,
и Макдэниел показал, что любое целое число имеет бесконечно много таких представлений .
Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана Роджером Хит-Брауном.
Обобщение -полнократные числа — числа, в разложении которых простые множители входят с показателем не менее .
, , являются -полнократными в арифметической прогрессии.
Более того, если являются -полнократными в арифметической прогрессии с разностью , то:
являются -полнократными числами в арифметической прогрессии.
Для - полнократных чисел имеет место:
.
Это равенство даёт бесконечно много наборов длины - полнократных чисел, суммы которых тоже -полнократны. Нитадж показал, что имеется бесконечно много решений уравнения среди взаимно простых 3-полнократных чисел. Кон сконструировал бесконечное семейство решений уравнения среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка
, ,
является решением уравнения , где — указанные выше числа. Возможно сконструировать другое решение, положив и убирая общий делитель.
Примечания
Литература
Ссылки
The abc conjecture
Категория:Целочисленные последовательности *