Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с , и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.
Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией , равной приращению в интервале некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале равна . Если — отрезок , то
Поток Пуассона, для которого равна постоянной , называется простейшим потоком с параметром .
Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру . Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью . При этом равна объему области , умноженному на .
Классификация Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).
Простой процесс Пуассона Пусть . Случайный процесс называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью , если
почти достоверное. — процесс с независимыми приращениями. для любых , где обозначает распределение Пуассона с параметром .
Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс Пусть последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин. Пусть — простой пуассоновский процесс с интенсивностью , не зависящий от последовательности .
Обозначим через сумму первых k элементов введённой последовательности.
Тогда определим сложный Пуассоновский процесс как .
Свойства Времена между моментами скачков независимы и имеют экспоненциальное распределение . Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того , то есть момент -го скачка имеет гамма-распределение . Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, непрерывные справа, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно
при , где обозначает «о малое».
Критерий Для того чтобы некоторый случайный процесс с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий: . Процесс имеет независимые приращения. Процесс однородный. Процесс принимает целые неотрицательные значения. при .
Информационные свойства Пусть — моменты скачков процесса Пуассона. . Зависит ли от предыдущей части траектории? — ?
Пусть .
. Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.
Рассмотрим отрезок на временно́й оси. — число скачков на отрезке . Условное распределение моментов скачков совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины из .
Плотность этого распределения
Центральная предельная теорема Теорема.
Скорость сходимости: , где — константа Берри-Эссеена.
Применение Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Также возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.
Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчётом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчётам.
Литература
Примечания
См. также Поток однородных событий Теория массового обслуживания
Пуассона Пуассона