Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида
где все — комплексные числа. Циркулянт можно также кратко описать как . Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.
Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы.
Свойства Пусть и — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства. и — циркулянт. Матрицы (поэлементно комплексно сопряжённая), (транспонированная) и (эрмитово сопряжённая) — циркулянтные. Матрица циркулянтная при . Если невырождена, то циркулянтная. Матрица — персимметричная и нормальная.
Определитель Обозначим первообразный корень из единицы степени . Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта :
Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора .
Примеры
Для определитель циркулянта равен:
Для :
Связанные определения
Антициркулянт Антициркулянт — это матрица аналогичного вида:
Косоциркулянт Матрица вида
называется -косоциркулянтом порядка при .
Очевидно, что циркулянт является -косоциркулянтом, а антициркулянт — -косоциркулянтом.
См. также Ганкелева матрица
Ссылки
Примечания
Литература
Категория:Определители Категория:Типы матриц Категория:Численные методы линейной алгебры