Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:
поток векторного поля через поверхность, это понятие широко используется и в физике, особенно в электродинамике;
фазовый поток — поток векторного поля — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов , определяемых дифференциальным уравнением .
Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).
Поток векторного поля через поверхность Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности . По определению, , где — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), — элемент поверхности.
В трёхмерном случае , а поверхностью является обычная двумерная поверхность.
Иногда применяется обозначение . тогда поток записывается в виде .
Размерность потока — это размерность величины , домноженная на квадратный метр (в СИ).
Некоторые физические примеры Из гидродинамики Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность , будет равен потоку векторного поля .
Если плотность равна , то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины : .
Из электродинамики В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции и . А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:
и , где — электрический заряд, а поток вектора нулевой, так как магнитные заряды не существуют.
Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:
через поперечное сечение токоведущего проводника.
О понятии плотности потока Если векторным полем , поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях имеет структуру , где обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м3, заряда в Кл/м3, энергии в Дж/м3 и т.д.), а — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока , ), подобное название не имеет смысла.
См. также Плотность потока Теорема Гаусса Векторная трубка
Ссылки
Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М.: "Наука", 1965, §14
Категория:Физические величины Категория:Векторный анализ