В электромагнетизме уравнения Ефименко, названные в честь Олега Ефименко, дают выражение для электрического поля и магнитного поля, индуцированных распределением зарядов и электрических токов в пространстве. Они, в частности, учитывают запаздывание («запаздывающее» время), связанное с распространением полей со скоростью света, и могут применяться для плотностей заряда и тока, изменяющихся во времени. Как и уравнения Панофски — Филлипс, они являются общим решением уравнений Максвелла для произвольного распределения зарядов и токовOleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Star City, Electret Scientific, 2nd ed., 1989, 597 p., ISBN 978-0-917406-08-9David J. Griffiths, Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot–Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics, vol. 59, № 2, 1991, p. 111—117.

Уравнения

Электрическое и магнитное поля Уравнения Ефименко дают выражение для электрического поля E и магнитного поля B, создаваемых произвольным распределением зарядов и токов, описываемых соответственно плотностями заряда ρ и плотностями тока JIntroduction to Electrodynamics (3rd Edition), D. J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3:

где: , , и

Эти уравнения представляют собой зависящее от времени обобщение (электродинамическое) закона Кулона и закона Био — Савара, которые изначально были справедливы только для полей в электростатике и магнитостатике.

Запаздывающие потенциалы как первоисточник Уравнения Ефименко можно вывести из запаздывающих потенциалов V и A:

которые являются решениями уравнений Максвелла, сформулированных через потенциалы (теорема Гельмгольца). Затем эти выражения для V и A можно подставить в следующие уравнения:

Используя эти соотношения, можно найти общее выражение для полей E и B непосредственно через их источники, то есть через плотности заряда ρ и плотности тока J.

Для электрического поля подробное вычисление даёт:

Обсуждение Широко распространённая интерпретация уравнений Максвелла утверждает, что переменные электрическое и магнитное поля порождают друг друга в пространстве и создают распространяющиеся электромагнитные волныPaul Kinsler, How to be causal: time, spacetime, and spectra, Eur. J. Phys., vol. 32, 2011, p. 1687, arXiv:1106.1792. Тем не менее уравнения Ефименко предлагают другое объяснениеOleg D. Jefimenko, Causality Electromagnetic Induction and Gravitation, Star City, Electret Scientific, 2nd ed., 2000, p. 16 (гл. 1, разд. 1-4), ISBN 0-917406-23-0. Ефименко писал: «[…] ни уравнения Максвелла, ни их решения не показывают существования причинно-следственной связи между электрическим и магнитным полем. Следовательно, необходимо заключить, что электромагнитное поле является смешанной сущностью, всегда обладающей электрической и магнитной составляющей, создаваемыми одновременно их общими источниками, а именно переменными электрическими зарядами и токами»Oleg D. Jefimenko, Causality Electromagnetic Induction and Gravitation, Star City, Electret Scientific, 2nd ed., 2000, p. 16 (гл. 1, разд. 1-5), ISBN 0-917406-23-0.

Макдональд отмечаетKirk T. McDonald, The relation between expressions for time-dependent electromagnetic fields given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips, American Journal of Physics, 65 (11), 1997, p. 1074—1076, что уравнения Ефименко, по-видимому, впервые появились в 1962 году во втором издании книги «Classical Electricity and Magnetism» Панофски и ФиллипсWolfgang K. H. Panofsky, Melba Phillips, Classical Electricity And Magnetism, Addison-Wesley, 2nd ed., 1962, Section 14.3. Электрическое поле записано в несколько иной, но полностью эквивалентной форме. Переиздание: Dover Publications, 2005, ISBN 978-0-486-43924-2 (см. уравнения Панофского — Филлипс). Однако Дэвид Гриффитс уточняет это следующим образом: «первое явное появление этих уравнений, о котором мне известно, принадлежит Олегу Ефименко в 1966 году», и он считает уравнения из книги Панофски и Филлипс лишь «весьма близкими»David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall (New Jersey), 3rd edition, 1999, p. 427—429.

Существенные особенности уравнений Ефименко проявляются в их правых частях, где фигурирует «запаздывающее» время, что отражает «причинность» этих уравнений. Иными словами, левые части уравнений на самом деле обусловлены их правыми частями, в отличие от дифференциальных уравнений Максвелла, где обе части действуют одновременно. В уравнениях Максвелла нет никаких сомнений в том, что обе части каждого уравнения равны, но, как указывает Ефименко: «[…] поскольку каждое из этих уравнений связывает величины, одновременные во времени, ни одно из них не может представлять причинно-следственную связь»Oleg D. Jefimenko, Causality Electromagnetic Induction and Gravitation, Star City, Electret Scientific, 2nd ed., 2000, p. 6 (гл. 1, разд. 1-1), ISBN 0-917406-23-0. Ещё одна особенность уравнений Ефименко состоит в том, что выражение для E не зависит от B, и наоборот. Следовательно, поля E и B не могут порождать друг друга. Именно плотности заряда и электрические токи создают их.

Примечания

Библиография

Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, New York, Appleton-Century-Crofts, 1st ed., 1966. Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Star City, Electret Scientific, 2nd ed., 1989, 597 p., ISBN 978-0-917406-08-9. Oleg D. Jefimenko, Causality Electromagnetic Induction and Gravitation, Star City, Electret Scientific, 2nd ed., 2000, 210 p., ISBN 0-917406-23-0.

См. также

Закон Кулона Закон Био — Савара Уравнения Максвелла Теорема Гельмгольца Запаздывающие потенциалы Уравнения Панофского — Филлипс Электромагнитная масса

Категория:Электродинамика Ефименко уравнения Ефименко уравнения