Модель пересекающихся (перекрывающихся) поколений (модель Даймонда, модель Самуэльсона — Даймонда, ) — модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. В модели отражено изменение потребительского поведения индивида по мере взросления. Вместе с тем, в модели отрицаются альтруистические связи между поколениями, и она не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана Питером Даймондом с использованием идей Пола Самуэльсона в 1965 году.
История создания В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научно-технического прогресса», от которых, в конечном итоге, и зависели темпы роста. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с заданной нормой сбережений имели ряд недостатков. Они не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. В модели Рамсея — Касса — Купманса был преодолён недостаток экзогенности нормы сбережений. Однако она сохранила другой недостаток ранних моделей — в ней рассматривается бесконечно живущий индивид (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя. Но по мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит. Именно на это будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Самуэльсон обратил более пристальное внимание. В декабре 1958 года он опубликовал работу «Моделирование процентной ставки на основе соотношения потребления и кредитования при наличии или отсутствии социальной концепции денег», в которой была представлена простая модель экономики на основе идей Ойген фон Бём-Баверка о причинах существования процентного дохода на капитал, где были выделены три периода жизни индивидуума и соответствующее им потребление (в первых двух он работает, в третьем — выходит на пенсию). В декабре 1965 года Питер Даймонд, также будущий лауреат Нобелевской премии по экономике, опубликовал работу «Национальный долг в неоклассической модели роста» в журнале , в которой он развил идеи Самуэльсона с учётом выводов модели Солоу и модели Рамсея — Касса — Купманса и представил модель пересекающихся поколений, также известную как модель Даймонда, модель Самуэльсона — Даймонда.
Описание модели
Базовые предпосылки модели В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность своих трат. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт , используемый как для потребления , так и для производственных нужд (учитывается как инвестиции) . Темпы технологического прогресса , роста населения и норма выбытия оборудования (капитала) — постоянны и задаются экзогенно. Индивидуумы живут два периода: в первом они работают, потребляют и сберегают, во втором — только потребляют, тратя накопленные в первом периоде сбережения (выходят на пенсию). Альтруистические связи между поколениями отсутствуют: молодые не помогают старикам и не получают наследство. Время изменяется дискретно. Один период в модели соответствует смене поколений, то есть в реальном выражении эквивалентен примерно 25—30 годам.
Закрытость экономики означает, что произведённый продукт тратится только на сбережение и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, инвестиции равны сбережениям:, .
Производственная функция удовлетворяет неоклассическим предпосылкам: технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): . в производственной функции используются труд и капитал , она обладает постоянной отдачей от масштаба: . предельная производительность факторов положительная и убывающая: . производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: . для производства необходим каждый фактор: .
Население растёт с постоянным темпом : . В каждом периоде живёт молодых и пожилых индивидов. Совокупное потребление равно:
,
где — потребление работающего поколения, — потребление вышедшего на пенсию поколения.
Молодой индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (неким количеством единственного товара, деньги отсутствуют). Каждый индивид выбирает и разделяет полученное между потреблением в молодости или сбережением и потреблением в старости, максимизируя межвременную полезность своих трат, которая описывается следующей функцией:
,
где — эластичность замещения по времени, , , — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, , . Функция удовлетворяет условиям и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности; при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): .
Вначале весь капитал находится у пожилых, они его полностью тратят в течение первого периода. Сбережения равны инвестициям, которые делает молодое поколение. Инвестиции в свою очередь равны капиталу в следующем периоде:
, где — сбережения в расчёте на одного работника.
Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда , капитал на единицу эффективного труда .
Задача потребителя
Потребитель максимизирует межвременную полезность своих трат. Поскольку, согласно модели, индивид работает только в молодости (первом периоде), межвременное бюджетное ограничение потребителя соответствует формуле:
.
Таким образом, задача потребителя имеет следующий вид:
при условии:
, где — реальная заработная плата в периоде .
Для решения этой задачи составляется функция Лагранжа и находится её максимум.
. Условия максимума:
Результатом решения этой системы уравнений является норма сбережений для периода :
.
Задача фирмы
Фирма максимизирует свою прибыль . Выпуск фирмы описывается неоклассической производственной функцией:
, где . Задача фирмы выглядит следующим образом:
В условиях совершенной конкуренции решение задачи фирмы приводит к тому, что плата за труд (заработная плата) и плата за капитал (процентная ставка) равны соответствующим предельным производительностям:
,
.
Общее экономическое равновесие
По предпосылкам модели:. Откуда с учётом решения задач потребителя и фирмы, получаем:
.
Поскольку входит как в правую, так и в левую части уравнения, найти явные решения этого уравнения можно только введя дополнительные предпосылки. При условии, что потребление в первом периоде и потребление во втором периоде являются совершенными заменителями, то равновесие существует. Если при этом сбережения монотонно возрастают по процентной ставке (), то это равновесие является единственным.
Если обозначить , где — сбережения в расчёте на единицу труда с постоянной эффективностью в периоде , то уравнение примет вид:
.
Откуда можно выразить динамику капиталовооружённости:
.
В результате может получиться два варианта фазовой плоскости (см. иллюстрации). В первом варианте кривая выходит из начала координат под углом более чем 45° (выше линии ), и в модели будет нечётное число равновесных состояний (пересечения и ), из которых пересечения, по порядку идущие нечётными от начала координат (первое, третье, пятое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие чётными (второе, четвёртое и т. д.) — неустойчивыми. Во втором варианте кривая выходит из начала координат под углом менее чем 45° (ниже линии ), и в модели будет чётное число равновесных состояний, из которых пересечения, идущие чётными от начала координат (второе, четвёртое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие нечётными (первое, третье и т. д.) — неустойчивыми.
Равновесие для производственной функции Кобба-Дугласа и логарифмической функции полезности Наглядно достижение равновесия можно продемонстрировать в случае логарифмической функции полезности и производственной функции Кобба-Дугласа. В этом случае , а полезность трат для индивида описывается функцией:
.
Выпуск описывается следующей функцией:
.
Тогда, норма сбережений равна: , а устойчивый уровень капиталовооружённости (в данном случае существует только одно равновесное состояние) равен: .
Процесс достижения равновесия на фазовой плоскости для рассматриваемого случая показан на иллюстрации.
Устойчивый уровень выпуска на единицу труда с постоянной эффективностью в этом случае составляет:
. Как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, потребление максимально в том случае, если . Таким образом, в модели возможна динамическая неэффективность (избыточное накопление капитала), в том случае, если: .
Конвергенция Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Частный случай с производственной функцией Кобба — Дугласа и логарифмической полезностью позволяет оценить, насколько быстро она происходит. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации в зависимости от посредством разложения в ряд Тейлора:
.
Если обозначить производную в точке равновесия , то путем рекуррентных постановок получается следующее уравнение приближения к равновесному состоянию:
.
Для рассматриваемого случая, , потому:
.
Таким образом, в рассматриваемом случае скорость конвергенции напрямую зависит от — доли дохода на капитал в общем доходе. Чем меньше доля дохода на капитал, тем быстрее происходит движение к равновесному состоянию, и тем быстрее бедные страны догоняют богатые.
Фискальная политика в модели
Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. В рамках модели, увеличение налогов и государственных расходов приводит к равновесию с меньшим уровнем капиталовооружённости, выпуска и потребления. Влияние бюджетно-налоговой политики показано на диаграмме. Кривая сдвигается вниз на величину — налогов (государственных расходов) на единицу эффективного труда, величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. Равновесие сдвигается из точки (устойчивое равновесие) в точку (устойчивое равновесие), и устанавливается на более низком уровне капиталовооружённости и потребления. Появившаяся третья равновесная точка является неустойчивым равновесием. Равенство Рикардо — Барро не выполняется. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют как потребление, так и инвестиции.
Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели Одним из существенных недостатков модели является полное отрицание альтруистических связей между поколениями. Чтобы преодолеть этот недостаток, Джеймс Андреони, а также Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин предложили ввести в функцию полезности трат каждого индивида полезность трат его детей с некоторым коэффициентом. В этом случае модель превращается в дискретный аналог модели Рамсея — Касса — Купманса для случая когда . Динамическая неэффективность становится невозможной, а последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Рикардо — Барро. Однако в этом случае модель приобретает и недостатки модели Рамсея — Касса — Купманса: утрачивается возможность несовершенства рынка (динамической неэффективности), а значит, модель перестает объяснять причины, приводящие к неоптимальному по Парето равновесию в экономике.