Метод итерации или метод простой итерации — численный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения, являющегося более точным.
Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (в результате итерационного процесса). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня.
Описание метода Пусть СЛАУ представлена в виде:
Выбирается начальное приближение . На каждом шаге считается новое приближение из старого по формуле
или в координатной форме . Приближения продолжают считаться до того, пока не достигнут нужной степени точности. Достигло ли приближение нужной степени точности или нет проверяется при помощи условия остановки, которые могут отличаться в разных реализациях.
Приведение СЛАУ к нужному виду Пусть дана СЛАУ
Для того, чтобы воспользоваться методом простой итерации, необходимо привести её к виду . Представим матрицу в виде , где — обратима. Тогда система приводится к виду следующим образом:
Матрицы и могут быть выбраны различными способами; в зависимости от конкретного способа получаются различные разновидности метода. Обозначим далее за — строго нижнюю треугольную часть , за — диагональную часть , за — строго верхнюю треугольную часть . Получающиеся таким способом разновидности эквиваленты следующим методам: — ; — метод Якоби; — взвешенный метод Якоби; — метод Гаусса — Зейделя; — метод релаксации; — метод симметричной релаксации. Здесь эквивалентность понимается в смысле равенства последовательностей приближений при равенстве начальных приближений .
Условия сходимости процесса Необходимое и достаточное условие сходимости: , где — спектральный радиус .
Достаточное условие сходимости: .
В частности при выборе нормы, подчинённой векторной условие сходимости приобретает вид (где ).
При выборе нормы условие приобретает вид (где ), что называют условием диагонального преобладания исходной матрицы .
Оценка погрешности Пусть — вектор точного решения. Тогда можно получить следующие оценки погрешности приближённого решения на -м шаге алгоритма: априорная:
апостериорная:
Примечания
Литература
Категория:Численные методы Категория:Методы решения СЛАУ