Рамочный магический квадрат — это такой магический квадрат, что если в нём отбросить окаймляющие «полосы» шириной в одну или несколько клеток, то оставшийся квадрат не утратит своего магического свойства. Такие квадраты ещё называют ассоциативными или симметричными. Рамочных магических квадратов 4-го порядка нет (так как не существует магических квадратов второго порядка)

Методы построения рамочных магических квадратов

Квадраты нечётного порядка

Метод ал-Караджи Один из простейших методов, касающихся заполнения квадратов порядка n=2k+1, принадлежит ал-Караджи (X в.). Рассмотрим метод в общем случае. Построение рамки начинается слева от правого верхнего угла, в который записывают число 1. Число 2 помещают в клетку, расположенную под правой верхней; 3 — слева от 1; 4 — под 2 и т. д. до числа 2(k-1). Число 2k-1 записывают под предыдущим; 2k — в левом верхнем углу; 2k+1 — в середине нижней части рамки; число 2(k+1) помещают в левый нижний угол, а следующий — справа от него. Число 3k располагают над 2(k+1). Дальнейшее заполнение осуществляется аналогично размещению чисел в правом верхнем углу. Последним записывают число ((2k+1)∙4-4)/2=4k . При заполнении оставшихся клеток рамки из (2k+1)2+1 вычитают числа, стоящие в соответствующих клетках углах рамки. Следующая рамка (2k-3)×(2k-3) строится аналогичным образом, начиная с числа 4k+1 и т. д. Наконец, внутри рамки составляется магический квадрат порядка 3. Квадрат, иллюстрирующий данный метод, представлен ниже: 4 19 21 1 20 24 16 9 14 2 23 11 13 15 3 8 12 17 10 18 6 7 525 22

Метод «Чистых братьев и Верных друзей» Следующий метод принадлежит «Чистым братьям и Верным друзьям». Поскольку в рукописи описания метода не было, то ниже представлена его реконструированная версия, рассмотренная в общем случае и показанная на примере магического квадрата порядка 7 (n=7, k=3). Независимо от порядка заполнение начинают с наименьшего квадрата. Первое число помещают во вторую сверху ячейку, крайнего правого столбца, в котором заполняется n−2 ячейки, до предпоследней; Следующее число помещают в последнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют строку полностью, до предпоследней ячейки; Оставшиеся рамки заполняют аналогично, рисунок ниже;

16 17 18 19 20 21 7 8 9 10 11 2 3 4 12 1 5 13 6 14 15 Далее переходят к заполнению «пустой» главной диагонали, записывая числа в их естественном порядке . 16 17 18 19 20 21 28 7 8 9 10 27 11 2 3 26 4 12 25 1 5 13 24 6 14 23 15 22 Пустые ячейки рамки заполняют, дополняя их в сумме с противоположными до числа (n²+1)/2;

Следующим шагом k−1 число в правом столбце, через одну ячейку, считая от предпоследней снизу, меняют местами с соответствующими числами левого столбца; и k чисел в верхней строке, через одно, считая от первой ячейки, с соответствующими числами нижней строки. В результате получаем рамочный магический квадрат, представленный ниже: 16 33 18 31 20 29 28 39 7 42 9 40 27 11 12 46 2 47 26 4 38 37 5 49 25 1 45 13 14 44 24 3 48 6 36 35 23 8 41 10 43 15 22 17 32 19 30 21 34

Квадраты нечётно-чётного порядка

Метод Секи Ковы Алгоритм построения квадрата порядка 2(2k+1)×2(2k+1) рассмотрим в общем виде: В ячейку правого нижнего угла помещают 1, число 2 располагают в ячейке первой строки так, как если бы она была под последней строкой. Аналогичным образом продолжают заполнять правый крайний столбец до тех пор, пока не достигнут числа 2(2k+1) −1; Число 2(2k+1) помещают в предпоследнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют (2k+1) клетку в направлении к 2; Следующее число помещают в ячейку правого крайнего столбца, под числом 2(2k+1) −1 и в направлении к 1 полностью заполняют правый столбец; Следующее число помещают в пустую ячейку первой строки и заполняют её полностью в направлении к 1; Пустые ячейки нижней строки и крайнего левого столбца, кроме угловых ячеек, заполняются дополнительными числами к (2k+1)2+1, к соответственно противоположным. Угловые ячейки заполняются дополнительными числами до n2+1 к противоположным угловым; (2k+1) число правого столбца после верхней угловой ячейки меняют местами с соответствующими числами левого столбца. Аналогично поступают с 2k числами первой строки, стоящих на втором и предпоследнем местах, с соответствующими числами нижней строки. Таким образом, получаем внешнюю рамку квадрата; Остальные рамки заполняют аналогично; Ниже изображён квадрат порядка 6, построенный по данному методу: 36 31 7 8 27 2 3 26 13 12 23 34 4 19 16 17 22 33 5 15 20 21 18 32 28 14 25 24 11 9 35 6 30 29 10 1

См. также Латинский квадрат Ортогональный массив Магический квадрат Супермагический квадрат Магический куб Супермагический куб Судоку

Примечания

Литература Холл М. Комбинаторика, пер. с англ. М. 1970. Dénes J. H., Keedwell A. D. Latin Squares and their Applications. Budapest. 1974. Laywine C.F., Mullen G.L. Discrete mathematics using Latin squares. New York. 1998. Малых А. Е., Данилова В. И. Об историческом процессе развития теории латинских квадратов и некоторых их приложениях // Вестник Пермского Университета. 2010. Вып. 4(4). С. 95-104. Тужилин М. Э. Об истории исследований латинских квадратов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. Том 19, выпуск 2. С. 226—227. Чебраков Ю. В. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. СПб: СПбГТУ, 1995, 388 с. ISBN 5-7422-0015-3.

Ссылки

Магические квадраты

М. Гарднер «Рецензия на книгу Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри» H. Heinz Magic Squares, Magic Stars & Other Patterns Н. Скрябина, В.Дубовской Магические квадраты Шахматный подход Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел Наименьшие магические квадраты из простых чисел «Общие формулы магических квадратов.» «Концентрические магические квадраты.»

Категория:Комбинаторика Категория:Теория чисел Категория:Теория алгоритмов Категория:Магические квадраты